Đề bài
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?
a] \[e^{-x}\] và \[- e^{-x}\]; b] \[\sin 2x\] và \[\sin^2x\]
c]\[{\left[ {1 - \frac{2}{x}} \right]^2}{e^x}\]và\[\left[ {1 - \frac{4}{x}} \right]{e^x}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hàm số \[F[x]\] được gọi là nguyên hàm của hàm số \[f[x]\] nếu \[F'[x]=f[x]\] với mọi \[x\] thuộc tập xác định.
+] Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản: \[ \left[ {{e^u}} \right]' = u'{e^u};\;\;\left[ {\sin u} \right]' = u'\cos u....\]
Lời giải chi tiết
a] \[e^{-x}\]và \[- e^{-x}\]là nguyên hàm của nhau, vì:
\[[{e^{ - x}}]'= {e^{ - x}}\left[ { - 1} \right]= - {e^{ - x}}\] và \[[ - {e^{ - x}}]' = \left[ { - 1} \right][ - {e^{ - x}}] = {e^{ - x}}\]
b] \[sin^2x\] là nguyên hàm của \[sin2x\], vì:
\[\left[ {si{n^2}x} \right]'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left[ {sinx} \right]' \\= 2sinxcosx = sin2x\]
c]\[\left[ {1 - \frac{4}{x}} \right]{e^x}\] là một nguyên hàm của\[{\left[ {1 - \frac{2}{x}} \right]^2}{e^x}\]vì:
\[{\left[ {\left[ {1 - \frac{4}{x}} \right]{e^x}} \right]^\prime } = \frac{4}{{{x^2}}}{e^x} + \left[ {1 - \frac{4}{x}} \right]{e^x} = \left[ {1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right]{e^x} = {\left[ {1 - \frac{2}{x}} \right]^2}{e^x}.\]