Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \[y=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}\] đồng biến trên khoảng \[\left[ -1;\ 1 \right]\] và nghịch biến trên các khoảng \[\left[ -\infty ;-1 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right].\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tìm tập xác định của hàm số.
+] Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi [i =1,2,3,,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+] Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \[D=R.\]
Có: \[y'=\dfrac{[x]'.[x^2+1]-x.[x^2+1]'}{{{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{2}}}=\dfrac{1-{{x}^{2}}}{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]^2}\]
\[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\]
Ta có: \[y' > 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} > 0 \] \[\Leftrightarrow - 1 < x < 1\]
\[ \Rightarrow \] Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ -1;\ 1 \right].\]
\[y' < 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} < 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow\] Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ -\infty ;\ -1 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right].\]