Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Họ H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB.
a] Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang.
b] Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. CHứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật.
c] Tia CD cắt AH ở M và cắt BE ở N. Chứng minh tứ giác AMBN là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a] Ta có D, H lần lượt là trung điểm của AB và BC.
\[ \Rightarrow DH\] là đường trung bình của tam giác ABC.
\[ \Rightarrow DH//AC \Rightarrow \] Tứ giác ADHC là hình thang.
b] \[\Delta ABC\] cân tại A có AH là đường trung tuyến [H là trung điểm của BC]
\[ \Rightarrow AH\] là đường cao của tam giác ABC.
\[ \Rightarrow AH \bot BC\] tại H.
Tứ giác AHBE có AB và EH cắt nhau tại D [gt]
D là trung điểm của AB [gt]
D là trung điểm của EH [E là điểm đối xứng với H qua D],
\[\widehat {NED} = \widehat {DHM}\] [hai góc so le trong và EB // AH]
Và \[\widehat {EDN} = \widehat {HDM}\] [hai góc đối đỉnh], do đó \[\Delta END = \Delta HDM\,\,\left[ {g.c.g} \right]\]
\[ \Rightarrow ND = MD \Rightarrow D\] là trung điểm của NB \[\left[ {D \in NM} \right]\]
Mặt khác D là trung điểm của AB [gt] và NM, AB cắt nhau tại D [gt]
Do đó tứ giác AMBN là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành]