Đề bài
Cho tam giác đều ABC có cạnh là a. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điếm M bên trong tam giác đến ba cạnh luôn bằng \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\] .
Lời giải chi tiết
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
\[\Delta ABC \Rightarrow \] AH là đường trung tuyến của tam giác ABC \[ \Rightarrow H\] là trung điểm của BC
\[ \Rightarrow BH = {{BC} \over 2} = {a \over 2}\]
Tam giác ABH vuông tại H \[ \Rightarrow A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\] [định lí Pytago]
\[ \Rightarrow A{H^2} + {{{a^2}} \over 4} = {a^2} \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Gọi m, n, p lần lượt là khoảng cách từ M đến AB, AC, BC
Ta có: \[{S_{ABC}} = {S_{ABM}} + {S_{ACM}} + {S_{BCM}} = {1 \over 2}.m.a + {1 \over 2}.n.a + {1 \over 2}.p.a = {1 \over 2}a\left[ {m + n + p} \right]\]
Mặt khác: \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = {1 \over 2}{{a\sqrt 3 } \over 2}.a\]
\[ \Rightarrow {1 \over 2}.a.\left[ {m + n + p} \right] = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \Rightarrow m + n + p = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.