Câu 1 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
a. \[y = \sqrt {3 - \sin x} \] ;
b. \[y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\]
c. \[y = \sqrt {{{1 - \sin x} \over {1 + \cos x}}} \]
d. \[y = \tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right]\]
Giải:
a. Vì \[-1 sinx 1\] nên \[3 sinx > 0\] với mọi \[x\] nên tập xác định của hàm số là: \[D =\mathbb R\]
b. \[y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\] xác định khi và chỉ khi \[\sin x 0\]
\[ x kπ, k \in\mathbb Z\]
Vậy tập xác định \[D =\mathbb R \backslash \left\{kπ , k \in \mathbb Z\right\}\]
c. Vì \[1 sinx 0\] và \[1 + cosx 0\] nên hàm số xác định khi và chỉ khi \[cosx -1 x π + k2π, k \in\mathbb Z\]
Vậy tập xác định \[D =\mathbb R\backslash\left\{π + k2π , k \in\mathbb Z\right\}\]
d. \[y = \tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right]\] xác định \[\cos \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right] \ne 0\]
\[ \Leftrightarrow 2x + {\pi \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \Leftrightarrow {\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in \mathbb Z\]
Vậy tập xác định \[D =\mathbb R\backslash \left\{ {{\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}\]
Câu 2 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau :
a. \[y = -2\sin x\]
b. \[y = 3\sin x 2\]
c. \[y=\sin x \cos x\]
d. \[y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\]
Giải:
a. \[f[x] = -2\sin x\]
Tập xác định \[D =\mathbb R\], ta có \[f[-x] = -2\sin [-x] = -f[x], x \in\mathbb R\]
Vậy \[y = -2\sin x\] là hàm số lẻ.
b. \[f[x] = 3\sin x 2\]
Ta có: \[f\left[ {{\pi \over 2}} \right] = 1;f\left[ { - {\pi \over 2}} \right] = - 5\]
\[f\left[ { - {\pi \over 2}} \right] \ne - f\left[ { - {\pi \over 2}} \right]\] và \[f\left[ { - {\pi \over 2}} \right] \ne f\left[ {{\pi \over 2}} \right]\] nên hàm số \[y = 3\sin x 2\] không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.
c. \[f[x] = \sin x \cos x\]
Ta có: \[f\left[ {{\pi \over 4}} \right] = 0;f\left[ { - {\pi \over 4}} \right] = - \sqrt 2 \]
\[f\left[ { - {\pi \over 4}} \right] \ne - f\left[ {{\pi \over 4}} \right]\] và \[f\left[ { - {\pi \over 4}} \right] \ne f\left[ {{\pi \over 4}} \right]\] nên \[y = \sin x \cos x\] không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.
d. \[f\left[ x \right] = \sin x{\cos ^2}x + \tan x\]
Tập xác định \[D = \mathbb R \backslash \left\{{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z \right\}\]
\[x \in D\] ta có \[ x \in D\] và
\[\eqalign{
& f\left[ { - x} \right] = \sin \left[ { - x} \right]{\cos ^2}\left[ { - x} \right] + \tan \left[ { - x} \right] \cr
& = - \sin x{\cos ^2}x - \tan x = - f\left[ x \right] \cr} \]
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 3 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :
a. \[y = 2\cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] + 3\]
b. \[y = \sqrt {1 - \sin \left[ {{x^2}} \right]} - 1\]
c. \[y = 4\sin \sqrt x \]
Giải
a. Ta có: \[-1 \cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] 1\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow - 2 \le 2\cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] + 3 \le 5 \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr
&\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\,\,\,\,\,\,\,\text{ khi} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr
&\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \,\text{ khi} \,x = - {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\left[ {k \in \mathbb Z} \right] \cr} \]
b. Ta có: \[0 \le 1 - \sin {x^2} \le 2\]
\[\Rightarrow - 1 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} - 1 \le \sqrt 2 - 1 \]
\[\Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1\]
\[\eqalign{
& \text{ Vậy }\,\min \,y = - 1\,\text{ khi} \,{x^2} = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr
&\max\,y = \sqrt 2 - 1\text{ khi}\,{x^2} = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in \mathbb Z \cr} \]
c. Ta có: \[ - 1 \le \sin \sqrt x \le 1 \Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4\]
\[ -4 y 4\]
\[\eqalign{
& \text{ Vậy }\cr&\min \,y = - 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in\mathbb Z \cr
& \max \,y = 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr} \]
Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho các hàm số \[f[x] = \sin x, g[x] = \cos x, h[x] = \tan x\] và các khoảng
\[{J_1} = \left[ {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right];{J_2} = \left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right];{J_3} = \left[ {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right];{J_4} = \left[ { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right]\]
Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng \[J_1\]? Trên khoảng \[J_2\]? Trên khoảng \[J_3\]? Trên khoảng \[J_4\]? [Trả lời bằng cách lập bảng].
Giải
\[{J_3} = \left[ {8\pi - {\pi \over 4};8\pi + {\pi \over 4}} \right],{J_4} = \left[ { - 150\pi - {{2\pi } \over 3}; - 105\pi - {\pi \over 4}} \right]\]
Ta có bảng sau, trong đó dấu + có nghĩa đồng biến, dấu 0 có nghĩa không đồng biến :
Hàm số
J1
J2
J3
J4
\[f[x] = \sin x\]
0
+
+
0
\[g[x] = \cos x\]
+
0
0
+
\[h[x] = \tan x\]
+
+
+
0
Câu 5 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?
a. Trên mỗi khoảng mà hàm số \[y = \sin x\] đồng biến thì hàm số \[y = \cos x\] nghịch biến.
b. Trên mỗi khoảng mà hàm số \[y = \sin^2 x\] đồng biến thì hàm số \[y = \cos^2 x\] nghịch biến.
Giải:
a. Sai vì trên khoảng \[\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\] hàm số \[y = \sin x\] đồng biến nhưng hàm số \[y = \cos x\] không nghịch biến.
b. Đúng do \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\]
Giả sử \[y = \sin^2 x\]đồng biến trên khoảng \[I\], khi đó với \[x_1,x_2\inI\] và \[x_1 {\cos ^2}{x_2}\]
\[ y = \cos^2 x\]nghịch biến trên \[I\].
Câu 6 trang 15 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho hàm số \[y = f[x] = 2\sin 2x\]
a. Chứng minh rằng với số nguyên \[k\] tùy ý, luôn có \[f[x + kπ] = f[x]\] với mọi \[x\].
b. Lập bảng biến thiên của hàm số \[y = 2\sin 2x\] trên đoạn \[\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right].\]
c. Vẽ đồ thị của hàm số \[y = 2\sin 2x\].
Giải
a. Ta có \[f[x + kπ] = 2\sin 2[x + kπ] = 2\sin [2x + k2π] = 2\sin 2x = f[x], x \in\mathbb R\]
b. Bảng biến thiên :
c. Đồ thị :
Câu 7 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số sau :
a. \[y = \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right]\]
b. \[y = \tan \left| x \right|\]
c. \[y = \tan x - \sin 2x.\]
Giải
a. Ta có:
\[\eqalign{
& f\left[ x \right] = \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right],f\left[ {{\pi \over 4}} \right] = 1,f\left[ { - {\pi \over 4}} \right] = 0 \cr
& f\left[ { - {\pi \over 4}} \right] \ne f\left[ {{\pi \over 4}} \right]\,va\,f\left[ { - {\pi \over 4}} \right] \ne - f\left[ {{\pi \over 4}} \right] \cr} \]
Nên \[y = \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right]\] không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.
b. \[f[x] = \tan|x|\]. Tập xác định \[D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z} \right\}\]
\[x \in D -x \in D\] và \[f[-x] = \tan |-x| = \tan |x| = f[x]\]
Do đó \[y = \tan |x|\] là hàm số chẵn.
c. \[f[x] = \tan x \sin 2x\]. Tập xác định \[D =\mathbb R \backslash\left\{ {{\pi \over 2} + k\pi ,k \in\mathbb Z} \right\}\]
\[x \in D -x \in D\] và \[f[-x] = \tan[-x] \sin[-2x]\]
\[= -\tan x + \sin 2x = -[\tan x \sin 2x] = -f[x]\]
Do đó \[y = \tan x \sin 2x\] là hàm số lẻ.
Câu 8 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho các hàm số sau :
a. \[y = - {\sin ^2}x\]
b. \[y = 3{\tan ^2}x + 1\]
c. \[y = \sin x\cos x\]
d. \[y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\]
Chứng minh rằng mỗi hàm số \[y = f[x]\] đó đều có tính chất :
\[f[x + kπ] = f[x]\] với \[k \in\mathbb Z\], \[x\] thuộc tập xác định của hàm số \[f\].
Giải
Với \[k \in\mathbb Z\] ta có :
a. \[f[x] = -\sin^2 x\]
\[f[x + kπ] = -\sin^2[x + kπ] = - {\left[ {{{\left[ { - 1} \right]}^k}\sin x} \right]^2} = - {\sin ^2}x = f\left[ x \right]\]
b.
\[\eqalign{
& f\left[ x \right] = 3{\tan ^2}x + 1 \cr
& f\left[ {x + k\pi } \right] = 3{\tan ^2}\left[ {x + k\pi } \right] + 1 = 3{\tan ^2}x + 1 = f\left[ x \right] \cr} \]
c. \[f[x] = \sin x\cos x\]
\[\eqalign{
& f\left[ {x + k\pi } \right] = \sin \left[ {x + k\pi } \right].\cos \left[ {x + k\pi } \right] = {\left[ { - 1} \right]^k}\sin x.{\left[ { - 1} \right]^k}\cos x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin x\cos x = f\left[ x \right] \cr} \]
d.
\[\eqalign{
& f\left[ x \right] = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr
& f\left[ {x + k\pi } \right] = \sin \left[ {x + k\pi } \right]\cos \left[ {x + k\pi } \right] + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left[ {2x + k2\pi } \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left[ { - 1} \right]^k}\sin x{\left[ { - 1} \right]^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left[ x \right] \cr} \]
Câu 9 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho hàm số \[y = f[x] = A\sin[ωx + ]\] [\[A, ω\] và \[\] là những hằng số ; \[A\] và \[ω\] khác \[0\]]. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \[k\]], ta có \[f\left[ {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right] = f\left[ x \right]\] với mọi \[x\].
Giải
Với \[k \in \mathbb Z\] ta có :
\[\eqalign{
& f\left[ {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right] = A\sin \left[ {\omega \left[ {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right] + \alpha } \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A\sin \left[ {\omega x + \alpha + k2\pi } \right] = A\sin \left[ {\omega x + \alpha } \right] = f\left[ x \right] \cr} \]
Câu 10 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \[y = {x \over 3}\] với đồ thị của hàm số \[y = \sin x\] đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \[\sqrt {10} \]
Giải
Đường thẳng \[y = {x \over 3}\] đi qua các điểm \[E[-3 ; -1]\] và \[F[3 ; 1]\]
Chỉ có đoạn thẳng \[EF\] của đường thẳng đó nằm trong dải \[\left\{ {\left[ {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right]| - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}\][dải này chứa đồ thị cuả hàm số \[y = \sin x\]]. Vậy các giao điểm của đường thẳng \[y = {x \over 3}\] với đồ thị của hàm số \[y = \sin x\] phải thuộc đoạn \[EF\] ; mọi điểm của đoạn thẳng này cách \[O\] một khoảng dài hơn \[\sqrt {9 + 1} = \sqrt {10} \] [và rõ ràng \[E, F\] không thuộc đồ thị của hàm số \[y = \sin x\]].
Câu 11 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Từ đồ thị của hàm số \[y = \sin x\], hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :
a. \[y = -\sin x\]
b. \[y = \left| {\sin x} \right|\]
c. \[y = \sin|x|\]
Giải
a. Đồ thị của hàm số \[y = -\sin x\] là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \[y = \sin x\]
b. Ta có: \[\left| {\sin x} \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,\sin x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,\sin x < 0} \cr} } \right.\]
do đó đồ thị của hàm số \[y = |\sin x|\] có được từ đồ thị \[[C]\] của hàm số \[y = \sin x\] bằng cách :
- Giữ nguyên phần đồ thị của \[[C]\] nằm trong nửa mặt phẳng \[y 0\] [tức nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ \[Ox\]].
- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị \[[C]\] nằm trong nửa mặt phẳng \[y < 0\] [tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ \[Ox\]];
- Xóa phần đồ thị của \[[C]\] nằm trong nửa mặt phẳng \[y < 0\].
- Đồ thị \[y = |\sin x|\] là đường liền nét trong hình dưới đây :
c. Ta có: \[\sin \left| x \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,x < 0} \cr} } \right.\]
do đồ thị của hàm số \[y = \sin|x|\] có được từ đồ thị \[[C]\] của hàm số \[y = \sin x\] bằng cách :
- Giữ nguyên phần đồ thị của \[[C]\] nằm trong nửa mặt phẳng \[x 0\] [tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ \[Oy\]].
- Xóa phần đồ thị của \[[C]\] nằm trong nửa mặt phẳng \[x < 0\] [tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ \[Oy\]].
- Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị \[[C]\] nằm trong nửa mặt phẳng \[x > 0\]
- Đồ thị \[y = \sin|x|\] là đường nét liền trong hình dưới đây :
Câu 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Từ đồ thị của hàm số \[y = \cos x\], hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :
\[y = \cos x + 2\]
\[y = \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right]\]
b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?
Giải:
a. Đồ thị của hàm số \[y = \cos x + 2\]có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số \[y = \cos x\]lên trên một đoạn có độ dài bằng \[2\], tức là tịnh tiến theo vectơ \[2\overrightarrow j [\overrightarrow j = \left[ {0,1} \right]\] là vecto đơn vị trên trục tung].
Đồ thị của hàm số \[y = \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right]\] có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx sang phải một đoạn có độ dài \[{\pi \over 4}\], tức là tịnh tiến theo vexto \[{\pi \over 4}\overrightarrow i [\overrightarrow i = \left[ {1,0} \right]\] là vecto đơn vị trên trục hoành].
b. Các hàm số trên đều là hàm tuần hoàn vì :
nếu \[f[x] = \cos x + 2\] thì \[f[x + 2π] = \cos[x + 2π] + 2\]
\[= \cos x + 2 = f[x], x \in\mathbb R\]
Và nếu \[g[x] = \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right]\] thì \[g[x + 2π] = \cos \left[ {x + 2\pi - {\pi \over 4}} \right]=\cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = g\left[ x \right]\] , \[x \in\mathbb R\]
Câu 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Xét hàm số \[y = f\left[ x \right] = \cos {x \over 2}\]
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \[k\], \[f[x + k4π] = f[x]\] với mọi \[x\].
b. Lập bảng biến thiên của hàm số \[y = \cos {x \over 2}\] trên đoạn \[[-2π ; 2π]\].
c. Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = \cos x\] và \[y = \cos {x \over 2}\] trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \[Oxy\].
d. Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], xét phép biến hình \[F\] biến mỗi điểm \[[x ; y]\] thành điểm \[[x'; y']\] sao cho \[x'= 2x\] và \[y'= y\]. Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \[y = \cos x\] thành đồ thị của hàm số \[y = \cos {x \over 2}.\]
Giải
a. \[f\left[ {x + k4\pi } \right] = \cos \left[ {{x \over 2} + k2\pi } \right] = \cos {x \over 2} = f\left[ x \right]\]
b. Bảng biến thiên :
c.
d. Nếu đặt \[x'= 2x, y'=y\] thì \[y = \cos x\] khi và chỉ khi \[y' = \cos {{x'} \over 2}\]. Do đó phép biến đổi xác đinh bởi \[[x ; y] [x'; y']\] sao cho \[x'= 2x, y'= y\] biến đồ thị hàm số \[y = \cos x\] thành đồ thị hàm số \[y = \cos {x \over 2}.\]