Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Ta đã biết \[\cos {\pi \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .\] Chứng minh rằng :
a. \[\cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \]
b. \[\cos {\pi \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\] [1] với mọi số nguyên n 2.
Giải:
a.
\[\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \]
b. Với n = 2 ta có \[\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left[ 1 \right]\] đúng.
Giả sử [1] đúng với n = k tức là :
\[\cos {\pi \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \] [k 1 dấu căn]
Với n = k + 1 ta có
\[\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left[ {1 + \cos {\pi \over {{2^k}}}} \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right] \cr & = {1 \over 4}\left[ {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right] \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left[ {k\,\text{ dấu căn}} \right] \cr} \]
Vậy [1] đúng với n = k + 1 do đó [1] đúng với \[n 2\].
Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\] với mọi n 2
Chứng minh rằng :
a. \[{u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\] [1] với mọi số nguyên n 1
b. [un] là môt dãy số tăng.
Giải:
a. Với n = 1 ta có \[{u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\]
[1] đúng với n = 1
Giả sử [1] đúng với n = k tức là ta có : \[{u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\]
Với n = k + 1 ta có :
\[\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 = {{4\left[ {{2^{2k + 1}} + 1} \right] - 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left[ {k + 1} \right]+1}} + 1} \over 3} \cr} \]
Vậy [1] đúng với n = k + 1 do đó [1] đúng với n 1
b. Ta có:
\[\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left[ {{2^2} - 1} \right]} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \]
[un] là dãy số tăng.
Câu 13 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 5\,\text{ và }\,{u_n} = {u_{n - 1}} - 2\] với mọi n 2
a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số [un]
b. Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số [un].
Giải:
a. Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = - 2;\forall n \ge 1\]
Suy ra: [un] là một cấp số cộng có số hạng đầu u1= 5 và công sai d = -2 do đó :
\[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d = 5 + \left[ {n - 1} \right]\left[ { - 2} \right] = - 2n + 7\]
b. \[{S_{100}} = {{100} \over 2}\left[ {2{u_1} + 99d} \right] = 50\left[ {10 - 198} \right] = - 9400\]
Câu 14 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi :
\[{u_1} = 2\,\text{ và }\,{u_n} = 3{u_{n - 1}}\] với mọi n 2
a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số [un];
b. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số [un].
Giải:
Ta có: \[{{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 3,\forall n \ge 2\]
[un] là một cấp số nhân có số hạng đầu u1= 2 và công bội q = 3 ta được :
a. \[{u_n} = {2.3^{n - 1}}\]
b. \[{S_{10}} = {3^{10}} - 1\]
Câu 15 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Các số x y, x + y và 3x 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Hãy tìm x và y
Giải:
Theo đề bài ra ta có hệ : \[\left\{ {\matrix{ {2\left[ {x + y} \right] = \left[ {x - y} \right] + \left[ {3x - 3y} \right]} \cr {{{\left[ {y + 2} \right]}^2} = \left[ {x - 2} \right]\left[ {2x + 3y} \right]} \cr } } \right.\]
Giải hệ ta được : \[\left\{ {\matrix{ {x = 3} \cr {y = 1} \cr } } \right.\,\text{hoặc}\;\left\{ {\matrix{ {x = - {6 \over {13}}} \cr {y = - {2 \over {13}}} \cr } } \right.\]