Bài 1 trang 113 SGK Hình học 11
Cho ba mặt phẳng \[[\alpha]\], \[[\beta ]\], \[[\gamma ]\], mệnh đề nào sau đây đúng?
a] Nếu\[[\alpha]\bot\beta\] và \[[\alpha] // [\gamma]\] thì \[[\beta]\bot[\gamma]\];
b] Nếu \[[\alpha]\bot\beta\]và \[[\alpha] \bot [\gamma]\] thì \[[\beta]//[\gamma]\].
Giải
a] Đúng.
b] Sai.
Bài 2 trang 113 SGK Hình học 11
Cho hai mặt phẳng \[[\alpha]\] và \[[\beta]\] vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến \[\Delta\] của hai mặt phẳng đó hai điểm \[A\] và \[B\] sao cho \[AB=8cm\]. Gọi \[C\] là một điểm trên \[[\alpha]\] và \[D\] là một điểm trên \[[\beta]\] sao cho \[AC\] và \[BD\] cùng vuông góc với giao tuyến \[\Delta\] và \[AC=6cm\], \[BD=24cm\]. Tính độ dài đoạn \[CD\].
Giải
\[\left. \matrix{
[\alpha ] \bot [\beta ] \hfill \cr
AC \bot \Delta \hfill \cr
AC \subset [\alpha ] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC \bot [\beta ]\]
Do đó \[AC\bot AD\] hay tam giác \[ACD\] vuông tại \[A\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ACD\] ta được:
$$D{C^2} = A{C^2} + A{D^2}[1]$$
Theo giả thiết \[BD\] vuông góc với giao tuyến nên \[BD\bot AB\] hay tam giác \[ABD\] vuông tại \[B\].
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ABD\] ta được:
$$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}[2]$$
Từ [1] và [2] suy ra: \[D{C^2} = A{C^2} + A{B^2} + B{D^2} = {6^2} + {8^2} + {24^2} = 676\]
\[ \Rightarrow DC = \sqrt {676} = 26cm\]
Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11
Trong mặt phẳng \[[\alpha]\] cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[B\]. Một đoạn thẳng \[AD\] vuông góc với \[[\alpha]\] tại \[A\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {ABD}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[DBC]\];
b] Mặt phẳng \[[ABD]\] vuông góc với mặt phẳng \[[BCD]\];
c] \[HK//BC\] với \[H\] và \[K\] lần lượt là giao điểm của \[DB\] và \[DC\] với mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[DB\].
Giải
a] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[AB\bot BC\] [1]
\[AD\] vuông góc với \[[\alpha]\] nên \[AD\bot BC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BC\bot [ABD]\] suy ra \[BC\bot BD\]
\[\left. \matrix{
[ABC] \cap [DBC] = BC \hfill \cr
BD \bot BC \hfill \cr
AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \] góc giữa hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[DBC]\] là góc\[\widehat {ABD}\]
b]
\[\left. \matrix{
BC \bot [ABD] \hfill \cr
BC \subset [BCD] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow [ABD] \bot [BCD]\]
c]
Mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[DB\] nên \[HK\bot BC\]
Trong \[[BCD]\] có:\[HK\bot BC\] và\[BC\bot BD\] nên suy ra \[HK// BC\].
Bài 4 trang 114 SGK Hình học 11
Cho hai mặt phẳng \[[\alpha]\], \[[\beta]\] cắt nhau và một điểm \[M\] không thuộc \[[\alpha]\] và không thuộc\[[\beta]\]. Chứng minh rằng qua điểm \[M\] có một và chỉ một mặt phẳng \[[P]\] vuông góc với \[[\alpha]\] và\[[\beta]\]. Nếu \[[\alpha]\] song song với\[[\beta]\] thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?
Giải
Gọi \[a=[\alpha]\cap [\beta]\]. Mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[M\] và vuông góc với \[a\].
Vì \[a\subset [\alpha]\] nên \[[P]\bot [\alpha]\],\[a\subset [\beta]\] nên \[[P]\bot[\beta]\]
Như vậy qua \[M\] có mặt phẳng \[[P]\] vuông góc với\[[\alpha]\] và\[[\beta]\].
Ngược lại: Nếu có \[[P]\] đi qua \[M\] và vuông góc với\[[\alpha]\] và\[[\beta]\] thì \[[P]\bot a\]. Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên \[[P]\] duy nhất.
Nếu\[[\alpha]//[\beta]\] gọi \[d\] là đường thẳng đi qua \[M\] và vuông góc với \[[\alpha]\] khi đó ta có \[d\bot [\beta]\]. Như vậy mọi mặt phẳng chứa \[d\] đều vuông góc với\[[\alpha]\] và\[[\beta]\]. Do đó khi\[[\alpha]//[\beta]\] thì có vô số mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[M\] và vuông góc với\[[\alpha]\] và\[[\beta]\].