Bài 1 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế, xếp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho
a] Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;
b] Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.
Giải:
Không gian mẫu gồm các hoán vị của 6 người. Vậy \[n\left[ \Omega \right] = 6!\]
Kí hiệu A là biến cố: Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà;
B là biến cố: Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông.
a] Để tạo nên một cách xếp mà đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà, ta tiến hành như sau:
- Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ hai đến ghế thứ năm. Có 4 cách.
- Ứng với mỗi cách xếp đứa bé, có 2 cách xếp hai người đàn bà.
- Khi đã xếp hai người đàn bà và đứa bé, xếp ba người đàn ông vào các chỗ còn lại. Có 3! cách.
Theo quy tắc nhân, ta có \[n\left[ A \right] = 4.2.3! = 48\].
Từ đó: \[P\left[ A \right] = {{48} \over {6!}} = {1 \over {15}}\]
b] Để tạo nên một cách xếp mà đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông, ta tiến hành như sau:
- Xếp đứa bé vào các ghế thứ hai đến thứ năm. Có 4 cách.
- Chọn hai trong số ba người đàn ông. Có \[C_3^2 = 3\]cách.
- Xếp hai người đàn ông ngồi hai bên đứa bé. Có 2 cách.
- Xếp ba người còn lại vào ba chỗ còn lại. Có 3! cách. Theo quy tắc nhân, ta có
\[n\left[ B \right] = 4.C_3^2.2.3! = 144\]
Vậy \[P\left[ B \right] = {{144} \over {6!}} = {1 \over 5}\]
Bài 2 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 ghế được xếp quanh bàn tròn. Tính xác suất sao cho
a] Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;
b] Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.
Giải:
Số cách xếp 6 người quanh bàn tròn là 5! . Vậy không gian mẫu có 5! = phần tử.
a] Tính
- Có 1 cách xếp đứa bé;
- Có 2 cách xếp hai người đàn bà ngồi hai bên đứa bé;
- Có 3! cách xếp ba người đàn ông.
Vậy \[n\left[ A \right] = 2.3! = 12\]
Từ đó: \[P\left[ A \right] = {{12} \over {120}} = {1 \over {10}}\]
b] Tương tự
\[n\left[ B \right] = 1.C_3^2.2.3! = 36\]
\[P\left[ B \right] = {{36} \over {120}} = {3 \over {10}}\]
Bài 3 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào hai dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy sau có 3 người.
Giải:
Chọn 4 người để xếp vào 4 ghế ở dãy đầu: Có \[A_7^4\]cách. Còn lại 3 người xếp vào 3 ghế ở dãy sau: có 3! cách.
Vậy có tất cả \[A_7^4.3! = 5040\]cách xếp.
Bài 4 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng:
a] \[C_{n - 1}^{m - 1} = {m \over n}C_n^m,\,\,\,\left[ {1 \le m \le n} \right];\]
b] \[C_{m + n}^m = C_{m + n - 1}^m + C_{m + n - 1}^n,\,\,\,\left[ {1 \le m,n} \right]\]
Hướng dẫn.
Dùng công thức tính số tổ hợp.