Câu 1 trang 93 SGK Hình học 10
Cho hình chữ nhật \[ABCD\]. Biết các đỉnh \[A[5; 1], C[0; 6]\] và phương trình \[CD: x + 2y 12 = 0\].
Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.
Trả lời:
Cạnh \[AB\] là đường thẳng đi qua \[A[ 5; 1]\] và song song với \[CD\].
Vì \[CD\] có phương trình \[x + 2y 12 = 0\] nên phương trình của \[AB\] có dạng:
\[x + 2y + m = 0\]
\[AB\] đi qua \[A[5; 1]\] nên ta có:
\[5 + 2.1 + m = 0 m = -7\]
Vậy phương trình của \[AB\] là: \[x + 2y 7 = 0\]
\[AD\] là đường thẳng qua \[A\] và vuông góc với \[CD\].
Phương trình của \[CD\] là: \[x + 2y 12 = 0\] nên phương trình của \[AD\] có dạng:
\[2x y + n = 0\]
\[AD\] đi qua \[A[5, 1]\] cho ta: \[2.5 - 1 + n = 0 n = -9\]
Phương trình của \[AD\]: \[2x - y - 9 = 0\]
\[CB\] là đường thẳng qua \[C\] và song song với \[AD\] nên phương trình của \[CB\] có dạng:
\[2x y + p = 0\]
\[CB\] đi qua \[C [0; 6]\] nên: \[ 2.0 6 + p = 0 p = 6\]
Phương trình của \[CB\] là: \[2x y = 6 = 0\]
Vậy
\[AB: x + y 7 = 0\]
\[BC : 2x - y + 6 = 0\]
\[AD : 2x y 9 = 0\]
Câu 2 trang 93 SGK Hình học 10
Cho \[A[1; 2] B[-3; 1]\] và \[C[4; -2]\]. Tìm tập hợp điểm \[M\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\]
Trả lời:
Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của điểm \[M\].
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MA} = [x - 1;y - 2] \cr
& \overrightarrow {MB} = [x + 3;y - 1] \cr
& \overrightarrow {MC} = [x - 4;y + 2] \cr} \]
Theo giả thiết, ta có:
\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} - 2} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {x + {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y + 1} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]^2}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}12x{\rm{ }}-{\rm{ }}10y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \cr
& \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]^2} = {\rm{ }}66 \cr} \]
Vậy quỹ tích các điểm \[M\] thỏa mãn đẳng thức \[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\]là đường tròn tâm \[I [-6; 5]\] và bán kính \[R = \sqrt{66}\].
Câu 3 trang 93 SGK Hình học 10
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:
\[{\Delta _1}: 5x + 3y 3 = 0\]
\[{\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0\]
Trả lời:
Gọi \[M[x; y]\] là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:
\[\eqalign{
& d[M,{\Delta _1}] = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} \cr
& d[M,{\Delta _2}] = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr} \]
Điểm \[M\] cách đều hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]nên:
\[\eqalign{
& {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr
& \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \]
Ta xét hai trường hợp:
[*] \[5x + 3y 3 = - [5x + 3y + 7] 5x + 3y + 2 = 0\]
[**] \[5x + 3y 3 = 5x + 3y + 7\] [vô nghiệm]
Vậy tập hợp các điểm \[M\] cách đều hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] là đường thẳng \[Δ: 5x + 3y + 2 = 0\]
Dễ thấy \[Δ\] song song với \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] và hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] nằm về hai phía đối với \[Δ\].
Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10
Cho đường thẳng \[Δ: x y + 2\] và hai điểm \[O[0; 0]; A[2; 0]\]
a] Tìm điểm đối xứng của \[O\] qua \[Δ\]
b] Tìm điểm \[M\] trên \[Δ\] sao cho độ dài đường gấp khúc \[OMA\] ngắn nhất.
Trả lời:
a] Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] trên \[Δ, H\] là giao điểm của đường thẳng qua \[O\] và vuông góc với \[Δ\].
\[\overline {OH} = [x;y]\]
\[ Δ: x y + 2 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u [1;1]\]
\[\overrightarrow {OH} \bot \Delta \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\]
Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[ - 1;1]\]
Gọi \[O\] là đỉnh đối xứng của \[O\] qua \[Δ\] thì \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OO\]
\[\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \]
Vậy \[O[-2;2]\].
b] Nối \[OA\] cắt \[Δ\] tại \[M\]
Ta có: \[OM = OM\]
\[ OM + MA = OM + MA = OA\]
Giả sử trên \[Δ\] có một điểm \[M M\], ta có ngay:
\[OM +MA > OA\]
Vậy điểm \[M\], giao điểm của \[OA\] với \[Δ\], chính là điểm thuộc \[Δ\] mà độ dài của đường gấp khúc \[OMA\] ngắn nhất.
\[A[2; 0]; O[-2; 2]\] nên \[OA\] có hệ phương trình: \[x + 2y 2 = 0\]
Tọa độ của điểm \[M\] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M[ - {2 \over 3},{4 \over 3}]\]