a] Chứng minh rằng d và d chéo nhau và vuông góc với nhau.
b] Viết phương trình mp[P] đi qua d và vuông góc với d, phương trình mp[Q] đi qua d và vuông góc với d.
c] Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d.
Giải
a] Đường thẳng d đi qua \[M\left[ {0;3;6} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1;0;1} \right]\]. Đường thẳng d đi qua \[M'\left[ {2;1;2} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left[ {1; - 1; - 1} \right]\].
Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MM'} = \left[ {2; - 2; - 4} \right]\,;\,\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {1;2; - 1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 2 - 4 + 4 = 2 \ne 0. \cr} \]
Vậy d và d chéo nhau.
Ta có \[\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 1 + 0 - 1 = 0 \Rightarrow d \bot d'.\]
b] Mp[P] đi qua \[M\left[ {0;3;6} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {n'} = \left[ {1; - 1; - 1} \right]\]nên ta có phương trình:
\[x - \left[ {y - 3} \right] - \left[ {z - 6} \right] = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0\]
Mp[Q] đi qua \[M'\left[ {2;1;2} \right]\]và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {1;0;1} \right]\] nên có phương trình: \[\left[ {x - 2} \right] + z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\]
c] Đường vuông góc chung \[\Delta \]của d và d là giao tuyến của mp[P] và mp[Q] nên
\[\Delta :\left\{ \matrix{
x - y - z + 9 = 0 \hfill \cr
x + z - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\].
Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A[0; 5; 4]\[\in \Delta \],\[\Delta \] có vectơ chỉ phương
\[\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \]
\[= \left[ {\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \]
\[= \left[ { - 1; - 2;1} \right]\]
Phương trình chính tắc của \[\Delta :\,{x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}\]
Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] lần lượt có phương trình:
\[\left[ P \right]:2x - y + z + 2 = 0\] và \[\left[ Q \right]:x + y + 2z - 1 = 0\].
a] Chứng minh rằng [P] và [Q] cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.
b] Viết phương trình đường thẳng d đi qua \[A\left[ {1;2; - 3} \right]\], song song với cả [P] và [Q].
c] Viết phương trình mp[R] đi qua \[B\left[ { - 1;3;4} \right]\], vuông góc với cả [P] và [Q].
Giải
a] Hai mặt phẳng [P] và [Q] lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {2; - 1;1} \right]\] và \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {1;1;2} \right]\]. Vì hai vectơ đó không cùng phương nên [P] và [Q] cắt nhau.
Gọi \[\varphi\] là góc giữa hai mặt phẳng đó thì:
\[\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {2 - 1 + 2} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = {1 \over 2}\].
Vậy \[\varphi = {60^0}.\]
b] Đường thẳng d song song với cả [P] và [Q] nên d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \] vuông góc với cả \[\overrightarrow {{n_P}} \] và \[\overrightarrow {{n_Q}} \].
Vì \[\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left[ { - 3; - 3;3} \right]\] nên ta có thể lấy \[\overrightarrow u = \left[ {1;1; - 1} \right]\].
Ngoài ra điểm \[A\left[ {1;2; - 3} \right]\] không nằm trên cả [P] và [Q] nên đường thẳng d cần tìm có phương trình: \[{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {{z + 3} \over { - 1}}\].
c] \[\left[ R \right] \bot \left[ P \right]\,\,;\,\,\left[ R \right] \bot \left[ Q \right] \Rightarrow \left[ R \right] \bot d.\]
Suy ra [R] đi qua \[B\left[ { - 1;3;4} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow u = \left[ {1;1; - 1} \right]\]nên [R] có phương trình: \[x + 1 + y - 3 - \left[ {z - 4} \right] = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 2 = 0.\]
Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho mặt cầu [S] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\]
a] Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu.
b] Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu [S] và mp[P]: \[x + y - z + k = 0\].
c] Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp[ABC].
d] Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tại điểm B.
e] Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] và song song với mặt phẳng [Q] có phương trình \[4x + 3y - 12z - 1 = 0.\]
Giải
a] Ta có \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 14.\]
Mặt cầu có tâm I[1; 2; 3] và có bán kính \[R = \sqrt {14} .\]
b] Khoảng cách từ điểm I đến mp[P] là: \[d = {{\left| {1 + 2 - 3 + k} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }}.\]
i] \[{{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} < \sqrt {14} \Leftrightarrow \left| k \right| < \sqrt {42} :\,\,\left[ P \right]\]cắt [S] theo một giao tuyến là một đường tròn.
ii] \[{{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} = \sqrt {14} \Leftrightarrow \left| k \right| = \sqrt {42} :\,\,\left[ P \right]\] tiếp xúc với [S].
iii] \[{{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} > \sqrt {14} \Leftrightarrow \left| k \right| > \sqrt {42} :\,\,\left[ P \right]\] không cắt [S].
c] [S] cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C [khác O] thì A[2; 0; 0] ; B[0; 4; 0] ; C[0; 0; 6].
Phương trình mặt phẳng [ABC]: \[{x \over 2} + {y \over 4} + {z \over 6} = 1.\]
d] \[Mp\left[ \alpha \right]\] tiếp xúc với [S] tại B thì \[\left[ \alpha \right]\]qua B và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {IB} = \left[ { - 1;2; - 3} \right]\].
Vậy \[\left[ \alpha \right]: - \left[ {x - 0} \right] + 2\left[ {y - 4} \right] - 3\left[ {z - 0} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 8 = 0.\]
e] Mp[Q] // mp[Q] nên [Q] có phương trình: \[4x + 3y - 12z + D = 0\,\,\left[ {D \ne - 1} \right].\]
[Q] tiếp xúc với [S]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left[ {I;\left[ {Q'} \right]} \right] = R \Leftrightarrow {{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} \cr&= \sqrt {14} . \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {D - 26} \right|} \over {13}} = \sqrt {14} \Leftrightarrow D = 26 \pm 13\sqrt {14} . \cr} \]
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: \[4x + 3y - 12z + 26 \pm 13\sqrt {14} = 0.\]
Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 1. Trên các tia AA, AB, AD [có chung gốc A] lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.
a] Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp[MNP] đi qua đỉnh của hình lập phương.
b] Trong trường hợp mp[MNP] luôn đi qua C, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?
Giải
Ta chọn Oxyz sao cho O trùng A, các tia Ox, Oy và Oz lần lượt chứa các điểm B, D, A. Khi đó ta có \[A\left[ {0;0;0} \right]\,\,;\,\,B\left[ {1;0;0} \right]\,\,;\,D\left[ {0;1;0} \right]\,\,;\,\,A'\left[ {0;0;1} \right]\,;\]
\[\,C'\left[ {1;1;1} \right]\,\,;\,\,M\left[ {0;0;m} \right]\,\,;\,\,N\left[ {n;0;0} \right]\,\,;\,\,P\left[ {0;p;0} \right]\]
a] Mặt phẳng [MNP] có phương trình đoạn chắn \[{x \over n} + {y \over p} + {z \over m} = 1\]nên mặt phẳng đó đi qua đỉnh C khi và chỉ khi: \[{1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} = 1\,\,\left[ * \right]\]
b] Thể tích tứ diện AMNP là \[V = {1 \over 6}AM.AN.AP = {1 \over 6}mnp\] [trong đó m, n, p là các số dương thỏa mãn điều kiện [*]]. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
\[{1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {mnp}}} \Leftrightarrow {1 \over {mnp}} \le {1 \over {{3^3}}} \Leftrightarrow mnp \ge 27.\]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[{1 \over m} = {1 \over n} = {1 \over p} = {1 \over 3} \Leftrightarrow m = n = p = 3.\]Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của thể tích V là \[{{27} \over 6}\], khi đó hình chóp AMNP là hình chóp đều.