Bài 10 trang 14 Sách giáo khoa [SGK] Hình học 10 Nâng cao
Bài 10. Cho hình bình hành \[ABCD\] với tâm \[O\]. Hãy điền vào chỗ trống [] để được đẳng thức đúng
a] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = ...................\]
b] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = ...................\]
c] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OA} = ...................\]
d] \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = ...................\]
e ] \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = ...................\]
Hướng dẫn trả lời
a] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \][quy tắc hình bình hành].
b] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \,\]
c] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {OB} \][quy tắc ba điểm].
d] \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \][vì O là trung điểm của AC].
e] \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = [\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ] + [\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} ] = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \][vì O là trung điểm của AC].
Bài 11 trang 14 sách giáo khoa [SGK] Hình học 10 Nâng cao
Bài 11. Cho hình bình hành \[ABCD\] với tâm \[O\]. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?
a] \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\];
b] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} \];
c] \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \];
d] \[\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \].
Hướng dẫn trả lời
a] Sai vì \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\] thì chưa chắc \[AC, BD\]đã bằng nhau do \[ABCD\] là hình bình hành.
b] Đúng vì \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \]
c] Sai vì \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \left[ {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CA} } \right] + \left[ {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {DB} } \right] = \left[ {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DB} } \right] \ne \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \]
d] Đúng vì \[\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} = \left[ {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right] = \left[ {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right] = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \].
Bài 12 trang 14 Sách giáo khoa [SGK] Hình học 10 Nâng cao
Bài 12. Cho tam giác đều \[ABC\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\].
a] Hãy xác định các điểm \[M, N, P\] sao cho
\[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \,;\,\,\,\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \,;\,\,\,\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \]
b] Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \].
Hướng dẫn trả lời
a] Theo quy tắc hình bình hành, ta có \[AOBM\] là hình bình hành.
Ta có \[AB, OM\] cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, gọi \[I\] là trung điểm \[AB\] thì \[OI = IM\]. \[O\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên \[OC = 2 OI = OM\].
Do đó \[O\] là trung điểm của \[MC\], tức là \[MC\] là đường kính của đường tròn.
Vậy điểm \[M\] là điểm sao cho \[CM\] là đường kính của đường tròn tâm \[O\].
Tương tự, ta cũng có \[N, P\] thuộc đường tròn \[[O]\] sao cho \[AN, BP\] là đường kính của đường tròn \[[O]\].
b] \[O\] là trung điểm của \[MC\] nên \[\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \], mà \[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \]suy ra \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \]
Bài 13 trang 15 Sách giáo khoa [SGK] Hình học 10 Nâng cao
Bài 13. Cho hai lực \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[\overrightarrow {{F_2}} \] cùng có điểm đặt tại \[O\] [h.17]. Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng trong các trường hợp sau
a] \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[\overrightarrow {{F_2}} \]đều có cường độ là \[100N\], góc hợp bởi \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[\overrightarrow {{F_2}} \] bằng \[{120^0}\][h.17a];
b] Cường độ của \[\overrightarrow {{F_1}} \]là \[40N\], của \[\overrightarrow {{F_2}} \]là \[30N\] và góc giữa \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[ \overrightarrow {{F_2}} \]bằng [h.17b].
Hướng dẫn trả lời
a]
Ta lấy \[\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OB} \].
Theo quy tắc hình bình hành, ta vẽ hình bình hành \[OACB\].
Hình bình hành \[OACB\] có \[OA = OB\] nên \[OACB\] là hình thoi.
Ta có \[\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \], \[OC\] là phân giác góc \[\widehat {AOB}\]nên \[\widehat {AOC} = {60^0}\]. Mà \[OACB\] là hình thoi nên tam giác \[AOC\] đều. Suy ra \[OA = OC\]. Vậy cường độ lực tổng hợp của \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[\overrightarrow {{F_2}} \]là \[100N\].
b]
Đặt \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} \]. \[C\] là đỉnh thứ tư của hình bình hành \[OABC\].
Do góc giữa \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[\overrightarrow {{F_2}} \]bằng \[{90^0}\]suy ra tứ giác \[OABC\] là hình chữ nhật.
\[\Rightarrow OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{40}^2} + {{30}^2}} = 50N\]
Ta có: \[\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \]
Vậy cường độ tổng hợp lực của \[\overrightarrow {{F_1}} \]và \[\overrightarrow {{F_2}} \]là \[50N.\]