Bài 1.32 trang 34 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \]
Gợi ý làm bài
[h.1.52]
\[\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ}\]
\[\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \]
Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được
\[\eqalign{
& 2\overrightarrow {IJ} = [\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ] + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + [\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} ] \cr
& = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \cr} \]
Bài 1.33 trang 34 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Gợi ý làm bài
[h.1.53]
Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.
Khi đó$\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \]
Ta có:
\[\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \]
\[ = [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} ] + \overrightarrow {AC} + [\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} ]\]
\[\overrightarrow { = AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \]
[Vì\[\overrightarrow {NM} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA}\] nên\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA} \]]
Vậy \[\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.
Bài 1.34 trang 34 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC.
a]Tìm điểm K sao cho \[\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \]
b]Tìm điểm M sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
Gợi ý làm bài
[Xem h.1.54]
a]\[\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \]
K là trọng tâm của tam giác ABC.
b] \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0 \] [I là trung điểm của AB]
Hay\[\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \] M là trung điểm của IC.
Bài 1.35 trang 34 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a] Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b] Chứng minh:\[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \];
\[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \];
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \].
c] Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh\[\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \]
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?
Gợi ý làm bài
[Xem h.1.55]
a] Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên\[BD \bot AB,DC \bot AC\]
Ta có\[CH \bot AB,BH \bot AC\] nên suy ra CH // BD và BH // DC.
Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.
b] Vì O là trung điểm của AD nên\[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} [1]\]
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \[\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \].
Vậy từ [1] suy ra:
\[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} [2]\]
Theo quy tắc ba điểm, từ [2] suy ra
\[\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \]
Vậy \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} [3]\]
c] G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \]
Từ [3] suy ra \[\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \]
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.