Bài 3.63 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A[1; 0; 0], B[1; 1; 1], \[C[{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}]\]
a] Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua O và vuông góc với OC.
b] Viết phương trình mặt phẳng \[[\beta ]\]chứa AB và vuông góc với \[[\alpha ]\].
Hướng dẫn làm bài:
a] Mặt phẳng \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow {OC} = [{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}]\] hay \[\overrightarrow n = 3\overrightarrow {OC} = [1;1;1]\]
Phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]là x + y + z = 0.
b] Gọi \[[\beta ]\]là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng \[[\alpha ]\]. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên là: \[\overrightarrow {AB} = [0;1;1]\] và \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = [1;1;1]\]
Suy ra \[[\beta ]\]có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\beta }} = [0;1; - 1]\]
Phương trình mặt phẳng \[[\beta ]\]là y z = 0
Bài 3.64 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \[[\beta ]\]: x + 3ky z + 2 = 0 và \[[\gamma ]\]: kx y + z + 1 = 0
Tìm k để giao tuyến của \[[\beta ]\]và \[[\gamma ]\]vuông góc với mặt phẳng
\[[\alpha ] : x y 2z + 5 = 0.\]
Hướng dẫn làm bài:
Ta có \[\overrightarrow {{n_\beta }} = [1;3k; - 1]\] và \[\overrightarrow {{n_\gamma }} = [k; - 1;1]\]. Gọi \[{d_k} = \beta \cap \gamma \]
Đường thẳng dkvuông góc với giá của \[\overrightarrow {{n_\beta }} \]và \[\overrightarrow {{n_\gamma }} \]nên có vecto chỉ phương là: \[\overrightarrow a = \overrightarrow {{n_\beta }} \wedge \overrightarrow {{n_\gamma }} = [3k - 1; - k - 1; - 1 - 3{k^2}]\]
Ta có: \[{d_k} \bot [\alpha ] \Leftrightarrow{{3k - 1} \over 1} = {{ - k - 1} \over { - 1}} = {{ - 1 - 3{k^2}} \over { - 2}} \Leftrightarrowk = 1\].
Bài 3.65 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có A[0; 0; 0], B[a; 0; 0], D[0; a; 0], A[0; 0; b] với a > 0 và b> 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC.
Xác định tỉ số \[{a \over b}\] để hai mặt phẳng [ABD] và [MBD] vuông góc với nhau.
Hướng dẫn làm bài:
Mặt phẳng [ABD] có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow {BD} \wedge \overrightarrow {BA'} = [ab;ab;{a^2}]\]
Mặt phẳng [BDM] có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {BD} \wedge \overrightarrow {BM} = [{{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}]\]
Ta có \[[BDM] \bot [A'BD] \Leftrightarrow\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \]
\[\Leftrightarrow{{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0\]
\[\Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow{a \over b} = 1\]