Bài 1.51 trang 41 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho đường tròn [O, R] , gọi BClà dây cung cố định của đường tròn và Alà một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Giải:
Vẽ đường kính BB1. Vì \[A{B_1}\parallel HC\]và \[AH\parallel {B_1}C\] nênAHCB1là hình bình hành, suy ra: \[\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {{B_1}C} \]. B, C cố định nên \[\overrightarrow {{B_1}C} \]không đổi.
Như vậy \[H = {T_{\overrightarrow {{B_1}C} }}\left[ A \right]\]. Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn \[C'\left[ {O';R} \right]\], chính là ảnh của đường tròn \[C\left[ {O;R} \right]\]qua phép tịnh tiến \[{T_{\overrightarrow {{B_1}C} }}\].
+ Xác định tâm của [C]:
Ta có:
\[O' = {T_{\overrightarrow {{B_1}C} }}\left[ O \right],\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {{B_1}C} = 2\overrightarrow {OI} \]
[I là trung điểm của BC]. Vậy O đối xứng với Oqua BC.
Bài 1.52 trang 41 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tam giác đều ABC và điểm P nằm trong tam giác, sao cho PC = 3, PA = 4 và PB = 5. Tìm chu vi của tam giác ABC.
Giải:
Xét phép quay \[{Q_{\left[ {C,{{60}^0}} \right]}}:\Delta CBP \mapsto \Delta CAQ\].
Ta có :
\[\left\{ \matrix{
CP = CQ \hfill \cr
\widehat {PCQ} = {60^0} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \Delta PCQ\] là tam giác đều.
\[\left\{ \matrix{
AQ = BP = 5 \hfill \cr
AP = 4 \hfill \cr
PQ = PC = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A{Q^2} = A{P^2} + P{Q^2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {APQ} = {90^0}\]
\[\widehat {APC} = \widehat {APQ} + \widehat {QPC} = {90^0} + {60^0} = {150^0}\]
Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác APC ta tính được chu vi tam giác ABC là: \[p = 3{\rm{A}}C = 3\sqrt {25 + 12\sqrt 3 } \]
Bài 1.53 trang 41 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tam giác ABC. Các trung tuyến AA',BB', CC'cắt nhau tại G.
a] Chứng minh rằng tam giác A'B'C'là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tỉ số kxác định.
b] Kẻ đường cao xuất phát từ đỉnh Acủa tam giác ABC. Chứng minh rằng ảnh của đường cao này qua phép vị tự \[{V_{\left[ {G,k} \right]}}\]là đường trung trực của đoạn thẳng BC
c] Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng phép vị tự \[{V_{\left[ {G,k} \right]}}\]nói trên biến điểm Hthành điểm O. Suy ra rằng ba điểm H, G, Onằm trên một đường thẳng [ đường thẳng Ơ-le của tam giác].
Giải:
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} \hfill \cr
\overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} \hfill \cr
\overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \hfill \cr} \right.\]
ABC là ảnh của ABCqua phép vị tự tâm G, tỉ số vị tự \[k = - {1 \over 2}\]
b] Trong phép vị tự \[{V_{\left[ {G,k = - {1 \over 2}} \right]}}\], đường cao AD của ABCbiến thành đường cao ADcủa ABC, nên \[A'D' \bot C'B'\].
Mà \[C'B'\parallel CB\]nên .
Mặt khác Alà trung điểm của đoạn thẳng BC.
Suy ra ADlà đường trung trực của đoạn thẳng BC.
c] Phép vị tự \[{V_{\left[ {G,k = - {1 \over 2}} \right]}}\]biến các đường cao của tam giác ABCthành các đường trung trực của tam giácABCnên trực tâm H biến thành tâm Ođường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do đó : \[\overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \]
Suy ra ba điểm H, G, Othẳng hàng.