Bài 6 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.\]
Giải
[H.3.5]
\[VT=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GC}\]
\[=3\overrightarrow{DG}=VP\] [đpcm]
Bài 7 trang 92 sgk hình học 11
Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AC\] và \[BD\] của tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MN\] và \[P\] là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
a]\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\]
b]\[\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}[\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}].\]
Giải
[H.3.6]
a]\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM},\]
\[\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\]
Cộng từng vế ta được :
\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}.\]
b]\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI},\]
\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI},\]
\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CI},\]
\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DI}.\]
Cộng từng vế ta được:
\[4\overrightarrow {PI} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} + [\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ] + [\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {DI} ]\]
\[ \Leftrightarrow\]\[{PI}=\frac{1}{4}[\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}].\]
Bài 8 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có\[\overrightarrow{AA'}\]= \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{AB}\]=\[\overrightarrow{b}\],\[\overrightarrow{AC}\]= \[\overrightarrow{c}\]. Hãy phân tích [hay biểu thị véctơ\[\overrightarrow{B'C}\], \[\overrightarrow{BC'}\]qua các véctơ \[\overrightarrow{a}\],\[\overrightarrow{b}\],\[\overrightarrow{c}\].
Giải
[H.3.7]
\[\overrightarrow{B'C}\]=\[\overrightarrow{B'A'}\]+\[\overrightarrow{A'A}\]+ \[\overrightarrow{AC}\]= -\[\overrightarrow{b}\]-\[\overrightarrow{a}\]+ \[\overrightarrow{c}\].
\[\overrightarrow{BC'}\]=\[\overrightarrow{BA}\]+\[\overrightarrow{AA'}\]+\[\overrightarrow{A'C'}\]=-\[\overrightarrow{b}\]+\[\overrightarrow{a}\]+\[\overrightarrow{c}\].
Nhận xét: ba véctơ\[\overrightarrow{a}\];\[\overrightarrow{b}\];\[\overrightarrow{c}\]ở trên gọi là bộ bavéctơ cơ sở ]dùng để phân tích các véctơ khác].
Bài 9 trang 92 sgk hình học 11
Cho tam giác \[ABC\]. Lấy điểm \[S\] nằm ngoài mặt phẳng \[[ABC]\]. Trên đoạn \[SA\] lấy điểm \[M\] sao cho\[\overrightarrow{MS}\]=\[-2\overrightarrow{MA}\]và trên đoạn \[BC\] lấy điểm \[N\] sao cho\[\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\]Chứng minh rằng ba véctơ \[\overrightarrow{AB}\],\[\overrightarrow{MN}\],\[\overrightarrow{SC}\]đồng phẳng.
Giải
[H.3.8]
\[\overrightarrow{MN}\]=\[\overrightarrow{MS}\]+\[\overrightarrow{SC}\]+\[\overrightarrow{CN}\]
=\[\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}\]+ \[\overrightarrow{SC}\]+\[\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.\][1]
\[\overrightarrow{MN}\]=\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{AB}\]+\[\overrightarrow{BN}\]
=\[-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}\]+\[\overrightarrow{AB}\]+\[-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}.\][2]
Nhân [2] với 2 rồi cộng với [1] ta được:
\[3\overrightarrow{MN}\]= \[\overrightarrow{SC}\]+\[2\overrightarrow{AB}\]\[\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\]
Vậy\[\overrightarrow{AB}\],\[\overrightarrow{MN}\],\[\overrightarrow{SC}\]đồng phẳng.
Bài 10 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình hộp \[ABCD.EFGH\]. Gọi \[K\] là giao điểm của \[AH\] và \[DE\], \[I\] là giao điểm của \[BH\] và \[DF\]. Chứng minh ba véctơ\[\overrightarrow{AC}\],\[\overrightarrow{KI}\],\[\overrightarrow{FG}\]đồng phẳng.
Giải
[H.3.9] Chứng minh giá của các véctơ\[\overrightarrow{KI}\],\[\overrightarrow{FG}\]song song với mặt phẳng \[[ABCD]\] chứa véctơ \[\overrightarrow{AC}\]. Từ đó suy ra ba véctơđồng phẳng.
\[I=BH\cap DF\] là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \[BDHF\] do đó \[I\] là trung điểm của \[BH\] [1]
\[K\] là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \[ADHE\] do đó \[K\] là trung điểm của \[AH\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[KI\] là đường trung bình của tam giác \[ABH\]. Do đó \[KI//AB\] suy ra \[KI//[ABCD]\] [*]
Ta có: \[BCGF\] là hình bình hành nên \[FG//BC\] suy ra \[FG//[ABCD]\] [2*]
Từ [*] và [2*] suy ra:\[\overrightarrow{AC}\],\[\overrightarrow{KI}\],\[\overrightarrow{FG}\]đồng phẳng.