Bài 21 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho phương trình
\[{x^2} + {y^2} + px + [p - 1]y = 0\][1]
Hỏi trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng?
a] [1] là phương trình của một đường tròn.
b] [1] là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.
c] [1] là phương trình của một đường tròn có tâm \[J\left[ { - {p \over 2}; - {{p - 1} \over 2}} \right]\]và bán kính \[R = {1 \over 2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \].
Giải
Phương trình đường tròn có dạng: \[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\], với điều kiện: \[{a^2} + {b^2} > c\].
Ta có:
\[\eqalign{
& 2a = p;\,\,2b = p - 1;\,\,c = 0 \cr
& \Rightarrow a = {p \over 2};\,\,b = {{p - 1} \over 2} \cr
& {a^2} + {b^2} = {1 \over 4}\left[ {2{p^2} - 2p + 1} \right] > 0. \cr} \]
Các mệnh đề đúng là: a], b], d].
Mệnh đề sai: c].
Bài 22 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình đường tròn [C] trong mỗi trường hợp sau
a] [C] có tâm I[1, 3] và đi qua điểm A[3, 1]
b] [C] có tâm I[-2, 0] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta :2x + y - 1 = 0.\]
Giải
a] Bán kính đường tròn [C] là: \[IA = \sqrt {{2^2} + {{[ - 2]}^2}} = 2\sqrt 2 \]
Phương trình đường tròn [C] là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 8\]
b] Bán kính của đường tròn [C] là:
\[R = d\left[ {I,\Delta } \right] = {{|2.[ - 2] + 0 - 1|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = {5 \over {\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \]
Phương trình đường tròn [C] là: \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {y^2} = 5.\]
Bài 23 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương trình sau
a] \[{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0;\]
b] \[{x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 2 = 0;\]
c] \[2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0.\]
Giải
a] Ta có: \[a = -1;\,b = -1;\,c = - 2\]
\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\]
Tâm đường tròn là: I[1, 1] bán kính R=2.
b] Ta có: \[a = - 2;\,b = - 3;\,c = 2\]
\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {{2^2} + {3^2} - 2} = \sqrt {11} \]
Đường tròn đã cho có tâm I[2, 3] , bán kính \[R = \sqrt {11} \]
c]
\[\eqalign{
& 2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - {5 \over 2}x - 2y + {{1 + {m^2}} \over 2} = 0 \cr} \]
Ta có: \[a = - {5 \over 4};\,b = - 1;\,c = {{1 + {m^2}} \over 2}\]
Điều kiện: \[{a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 - {{1 + {m^2}} \over 2} > 0\]
\[{a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 - {{1 + {m^2}} \over 2} > 0 \]
\[\Leftrightarrow {{33 - 8{m^2}} \over {16}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < {{33} \over 8} \Leftrightarrow |m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \]
Với điều kiện \[|m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \]thì [C] là đường tròn có tâm \[I\left[ {{5 \over 4};1} \right]\] và bán kính \[R = {1 \over 4}\sqrt {33 - 8{m^2}} \]