Bài 16 trang 198 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp [T] của có có phương trình là \[{\left[ {x - {5 \over 2}} \right]^2} + {y^2} = {{25} \over 4}\].Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.39]
Đường tròn [T] có tâm \[I\left[ {{5 \over 2};0} \right]\] và bán kính \[R = {5 \over 2}\].
\[\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} = \left[ {5;0} \right]\] suy ra B[5 ; 0]. Đặt A[x ; y] ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{\left[ {x - {5 \over 2}} \right]^2} + {y^2} = {{25} \over 4} \hfill \cr
\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left[ {5 - x} \right]}^2} + {y^2}} = 12 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} = {{25} \over 4} - {\left[ {x - {5 \over 2}} \right]^2} \hfill \cr
\left[ {{x^2} + 5x - {x^2}} \right]\left[ {{{\left[ {5 - x} \right]}^2} + 5x - {x^2}} \right] = 144 \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} = 5x - {x^2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = {9 \over 5} \hfill \cr
y = {{16} \over 5} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Vậy ta được
\[A\left[ {{9 \over 5};{{12} \over 5}} \right]\], \[C\left[ {{6 \over 5};{{ - 12} \over 5}} \right]\]
Hoặc \[A\left[ {{9 \over 5};{{ - 12} \over 5}} \right]\], \[C\left[ {{6 \over 5};{{12} \over 5}} \right]\]
Bài 17 trang 198 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:
[C1] : \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4\]
và[C2]: \[{\left[ {x - 5} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 16\]
a] Chứng minh rằng hai đường tròn [C1] , [C2] cắt nhau ;
b] Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của [C1] và [C2].
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.40]
a] [C1] có tâm I[2 ; 2] và bán kính \[{R_1} = 2\]
[C2] có tâm J[5 ; 3] và bán kính \[{R_2} = 4\]
Ta có:
\[IJ = \sqrt {{{\left[ {5 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {3 - 2} \right]}^2}} = \sqrt {10} .\]
Do: \[{R_2} - {R_1} < IJ < {R_2} + {R_1}\]
Nên[C1] và [C2] cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b] Gọi \[\Delta \] và \[\Delta' \]là hai tiếp tuyến chung của [C1] và [C2] . \[\Delta \]tiếp xúc với [C1] và [C2] lần lượt tại A, B.\[\Delta' \]tiếp xúc với [C1] và [C2] lần lượt tại A', B'.
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
d[I,\Delta ] = d[I,{\Delta'}] = {R_1} = 2 \hfill \cr
d[J,\Delta ] = d[J,{\Delta'}] = {R_2} = 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow IJ,\Delta \] và\[\Delta' \]đồng quy tại M.
\[\eqalign{
& {{JM} \over {IM}} = {{JB} \over {IA}} = {{{R_2}} \over {{R_1}}} = 2 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {JM} = 2\overrightarrow {JI} \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_M} - 5 = 2.\left[ {2 - 5} \right] \hfill \cr
{y_M} - 3 = 2.[2 - 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_M} = - 1 \hfill \cr
{y_M} = 1. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy ta được M[-1 ; 1].
Bài 18 trang 199 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip [E]: \[{{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\] và điểm \[A\left[ { - 1;{1 \over 2}} \right]\].Gọi d là đưởng thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt [E] tại hai điểm phân biệt M và N sao cho A là trung điểm của MN.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.41]
Phương trình đường thẳng d có dạng
\[y - {1 \over 2} = m[x + 1]\]
\[ \Leftrightarrow y = m[x + 1] + {1 \over 2}.\]
Phương trình hoành độ giao điểm của d và [E] là :
\[\eqalign{
& {{{x^2}} \over 4} + {\left[ {mx + m + {1 \over 2}} \right]^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4{\left[ {mx + \left[ {m + {1 \over 2}} \right]} \right]^2} = 4 \cr} \]
\[\Leftrightarrow \left[ {4{m^2} + 1} \right]{x^2} + 4\left[ {\left[ {2m + 1} \right]m} \right]x + 4{\left[ {m + {1 \over 2}} \right]^2} - 4 = 0.\]
A là trung điểm của MN
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x_M} + {x_N}} \over 2} = {x_A} \cr
& \Leftrightarrow {{ - 4[2{m^2} + m]} \over {2[4{m^2} + 1]}} = - 1 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow 4{m^2} + 2m = 4{m^2} + 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}.\]