Câu 18 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a] \[{x^2} - 6x + 5 = 0\]
b] \[{x^2} - 3x - 7 = 0\]
c] \[3{x^2} - 12x + 1 = 0\]
d] \[3{x^2} - 6x + 5 = 0\]
Giải
a] \[{x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.3x + 9 = 4 \Leftrightarrow {\left[ {x - 3} \right]^2} = 4\]
\[\Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 2\] \[\Leftrightarrow x - 3 = 2\]hoặc \[x - 3 = - 2\] x = 5 hoặc x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 5;{x_2} = 1\]
b]\[{x^2} - 3x - 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = 7 + {9 \over 4} \Leftrightarrow {\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} = {{37} \over 4}\]
\[\Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt {37} } \over 2}\]hoặc\[x - {3 \over 2} = - {{\sqrt {37} } \over 2}\]
\[\Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt {37} } \over 2}\]hoặc\[x = {{3 - \sqrt {37} } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = {{3 + \sqrt {37} } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt {37} } \over 2}\]
c]
\[\eqalign{
& 3{x^2} - 12x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + {1 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2.2x + 4 = 4 - {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} = {{11} \over 3} \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = {{\sqrt {33} } \over 3} \cr} \]
\[\Leftrightarrow x - 2 = {{\sqrt {33} } \over 3}\]hoặc\[x - 2 = - {{\sqrt {33} } \over 3}\]
\[\Leftrightarrow x = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3}\]hoặc\[x = 2 - {{\sqrt {33} } \over 3}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3};{x_2} = 2 - {{\sqrt {33} } \over 3}\]
d]
\[\eqalign{
& 3{x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + {5 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 1 - {5 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = - {2 \over 3} \cr} \]
Vế trái \[{\left[ {x - 1} \right]^2} \ge 0\]; vế phải\[- {2 \over 3} < 0\]
Vậy không có giá trị nào của x để\[{\left[ {x - 1} \right]^2} = - {2 \over 3}\]
Phương trình vô nghiệm.
Câu 19 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Nhận thấy rằng phương trình tích \[\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0,\] hay phương trình bậc hai \[{x^2} - x - 6 = 0,\]có hai nghiệm là \[{x_1} = - 2,{x_2} = 3\]. Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau:
a]\[{x_1} = 2,{x_2} = 5\]
b]\[{x_1} = - {1 \over 2},{x_2} = 3\]
c]\[{x_1} = 0,1;{x_2} = 0,2\]
d]\[{x_1} = 1 - \sqrt 2 ,{x_2} = 1 + \sqrt 2 \]
Giải
a] Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:
\[\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 5} \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\]
b] Hai số \[- {1 \over 2}\]và 3 là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{
& \left[ {x - \left[ { - {1 \over 2}} \right]} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x + {1 \over 2}} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr} \]
c] Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{
& \left[ {x - 0,1} \right]\left[ {x - 0,2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 0,3x + 0,02 = 0 \cr} \]
d] Hai số \[1 - \sqrt 2 \]và \[1 + \sqrt 2 \]là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{
& \left[ {x - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]} \right]\left[ {x - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]\left[ {1 + \sqrt 2 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr} \]
Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Đưa các phương trình sau về dạng \[a{x^2} + bx + c = 0\]và xác định các hệ số a, b, c:
a]\[4{x^2} + 2x = 5x - 7\]
b]\[5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2}\]
c]\[m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx\]
d]\[x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2\]
Giải
a] \[4{x^2} + 2x = 5x - 7 \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x + 7 = 0\]có a = 4, b = -3, c = 7
b]
\[\eqalign{
& 5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2} \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 5 - 1} \right]{x^2} + 2x + 1 = 0 \cr
& a = \sqrt 5 - 1;b = 2;c = 1 \cr} \]
c]\[m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - \left[ {3 - m} \right]x + 5 = 0\]
\[m - 1 \ne \]nó là phương trình bậc hai có a = m 1; b = - [3 m ]; c = 5
d]
\[\eqalign{
& x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 1} \right]{x^2} + \left[ {1 - m} \right]x - 2 = 0 \cr} \]
\[{m^2} - 1 \ne 0\]nó là phương trình bậc hai có\[a = {m^2} - 1,b = 1 - m,c = - 2\]