Bài 19 trang 194 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc \[\alpha ,\beta \]
a]\[\sin 6\alpha \cot 3\alpha - c{\rm{os6}}\alpha \]
b]\[{{\rm{[}}\tan [{90^0} - \alpha ] - \cot [{90^0} + \alpha ]{\rm{]}}^2} - {{\rm{[}}c{\rm{ot[18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ] + \cot [{270^0} + \alpha ]{\rm{]}}^2}\]
c]\[[\tan \alpha - \tan \beta ]cot[\alpha - \beta ] - \tan \alpha \tan \beta \]
d] \[[\cot {\alpha \over 3} - \tan {\alpha \over 3}]\tan {{2\alpha } \over 3}\]
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& \sin 6\alpha \cot 3\alpha - c{\rm{os6}}\alpha \cr
& = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha .{{\cos 3\alpha } \over {\sin 3\alpha }} - [2{\cos ^2}3\alpha - 1] \cr} \]
=\[2{\cos ^2}3\alpha - 2{\cos ^2}3\alpha + 1 = 1\]
b]
\[{{\rm{[}}\tan [{90^0} - \alpha ] - \cot [{90^0} + \alpha ]{\rm{]}}^2} - {{\rm{[}}c{\rm{ot[18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ] + \cot [{270^0} + \alpha ]{\rm{]}}^2}\]
=\[{[\cot \alpha + \tan \alpha ]^2} - {[\cot \alpha - \tan \alpha ]^2}\]
=\[{\cot ^2}\alpha + 2 + {\tan ^2}\alpha - {\cot ^2}\alpha + 2 - {\tan ^2}\alpha = 4\]
c]
\[\eqalign{
& [\tan \alpha - \tan \beta ]cot[\alpha - \beta ] - \tan \alpha \tan \beta \cr
& = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {\tan [\alpha - \beta ]}} - \tan \alpha \tan \beta \cr} \]
=\[1 + \tan \alpha \tan \beta - \tan \alpha \tan \beta = 1\]
d]
\[\eqalign{
& [\cot {\alpha \over 3} - \tan {\alpha \over 3}]\tan {{2\alpha } \over 3} \cr
& = [{{\cos {\alpha \over 3}} \over {\sin {\alpha \over 3}}} - {{\sin {\alpha \over 3}} \over {\cos {\alpha \over 3}}}]{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} \cr} \]
= \[\eqalign{
& {{{{\cos }^2}{\alpha \over 3} - {{\sin }^2}{\alpha \over 3}} \over {\sin {\alpha \over 3}\cos {\alpha \over 3}}}.{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} \cr
& = {{\cos {{2\alpha } \over 3}} \over {{1 \over 2}\sin {{2\alpha } \over 3}}}.{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} = 2 \cr} \]
Bài 20 trang 194 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính
a]\[{\sin ^4}{\pi \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\]
b]\[\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} - \tan 7,{5^0} - \cot 67,{5^0}\]
Gợi ý làm bài
a]\[{\sin ^4}{\pi \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\]
\[ = {\left[ {{{1 - \cos {\pi \over 8}} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{1 - \cos {{3\pi } \over 8}} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{1 - \cos {{5\pi } \over 8}} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{1 - \cos {{7\pi } \over 8}} \over 2}} \right]^2}\]
\[ = {1 \over 4}\left[ {1 - 2\cos {\pi \over 8} + {{\cos }^2}{\pi \over 8} + 1 - 2\cos {{3\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{3\pi } \over 8} + 1 - 2\cos {{5\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{5\pi } \over 8} + 1 - 2\cos {{7\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{7\pi } \over 8}} \right]\]
\[ = 1 - {1 \over 2}\left[ {\cos {\pi \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} + \cos {{5\pi } \over 8} + \cos {{7\pi } \over 8}} \right] + {1 \over 4}\left[ {{{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{3\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{5\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{7\pi } \over 4}} \over 2}} \right]$\]
=\[1 - {1 \over 2}\left[ {\cos {\pi \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} - \cos {{3\pi } \over 8} - \cos {\pi \over 8}} \right] + {1 \over 8}\left[ {4 + {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right]\]
=\[{3 \over 2}\]
b]\[\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} - \tan 7,{5^0} - \cot 67,{5^0}\]
=\[{{\cos 7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}}} - {{\sin 7,{5^0}} \over {\cos 7,{5^0}}} + {{\sin 67,{5^0}} \over {\cos 67,{5^0}}} - {{\cos 67,{5^0}} \over {\sin 67,{5^0}}}\]
=\[{{{{\cos }^2}7,{5^0} - {{\sin }^2}7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}\cos 7,{5^0}}} + {{{{\sin }^2}67,{5^0} - {{\cos }^2}67,{5^0}} \over {sin67,{5^0}\cos 67,{5^0}}}\]
= \[\eqalign{
& {{\cos {{15}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{15}^0}}} - {{\cos {{135}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{135}^0}}} \cr
& = {{2[\sin {{135}^0}\cos {{15}^0} - \cos {{135}^0}\sin {{15}^0}]} \over {\sin {{15}^0}\sin {{135}^0}}} \cr} \]
=\[{{\sin [{{135}^0} - {{15}^0}]} \over {\sin [{{45}^0} - {{30}^0}]\sin [{{180}^0} - {{45}^0}]}}\]
= \[{{2\sin {{120}^0}} \over {[\sin {{45}^0}\cos {{30}^0} - \cos {{45}^0}\sin {{30}^0}]sin{{45}^0}}}\]
\[\eqalign{
& = {{\sqrt 3 } \over {{{\sqrt 2 } \over 2}[{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}].{{\sqrt 2 } \over 2}}} \cr
& = {{4\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 - 1}} = 6 + 2\sqrt 3 \cr} $\]
Bài 21 trang 194 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Rút gọn các biểu thức
a] \[{{\sin 2\alpha + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}\]
b]\[{{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha \over 2}}}\]
c]\[{{1 + c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha } \over {1 - c{\rm{os}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }}\]
d]\[{{1 + \sin \alpha - 2{{\sin }^2}[{{45}^0} - {\alpha \over 2}]} \over {4c{\rm{os}}{\alpha \over 2}}}\]
Gợi ý làm bài
a]\[{{\sin 2\alpha + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }} = {{\sin \alpha [2\cos \alpha + 1]} \over {2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}\]
=\[{{\sin \alpha [2\cos \alpha + 1]} \over {c{\rm{os}}\alpha [2{\rm{cos}}\alpha + 1]}} = \tan \alpha \]
b]\[{{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha \over 2}}} = {{16{{\sin }^2}{\alpha \over 2}{{\cos }^2}{\alpha \over 2}} \over {{{\sin }^2}{\alpha \over 2}}} = 16{\cos ^2}{\alpha \over 2}\]
c]\[{{1 + c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha } \over {1 - c{\rm{os}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }} = {{2{{\cos }^2}{\alpha \over 2} - 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}} \over {2si{n^2}{\alpha \over 2} - 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}}}\]
=\[{{2\cos {\alpha \over 2}[\cos {\alpha \over 2} - \sin {\alpha \over 2}]} \over {2\sin {\alpha \over 2}[sin{\alpha \over 2} - \cos {\alpha \over 2}]}} = - \cot {\alpha \over 2}\]
d]\[{{1 + \sin \alpha - 2{{\sin }^2}[{{45}^0} - {\alpha \over 2}]} \over {4c{\rm{os}}{\alpha \over 2}}} = {{\sin \alpha + \cos [{{90}^0} - \alpha ]} \over {4\cos {\alpha \over 2}}}\]
=\[{{\sin \alpha + \sin \alpha } \over {4\cos {\alpha \over 2}}} = {{4\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}} \over {4\cos {\alpha \over 2}}} = \sin {\alpha \over 2}\]
Bài 22 trang 194 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD. Biết \[\tan \widehat {BDC} = {3 \over 4}\] tính các giá trị lượng giác của\[\widehat {BAD}\]
Gợi ý làm bài
Ta có [h.64]
\[\widehat {ABD} = \widehat {ADB}\]
\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\]
=>\[\widehat {BDC} = \widehat {ADB}\]
Suy ra \[\widehat {BAD} = \pi - 2\widehat {BDC}\]
Từ đó ta có:
\[\eqalign{
& \tan \widehat {BAD} = - \tan 2\widehat {BDC} = - {{2\tan \widehat {BDC}} \over {1 - {{\tan }^2}\widehat {BDC}}} \cr
& = - {{2.{3 \over 4}} \over {1 - {9 \over {16}}}} = - {3 \over 2}.{{16} \over 7} = - {{24} \over 7} \cr} \]
Vì\[{\pi \over 2} < \widehat {BAD} < \pi \] nên\[\cos \widehat {BAD} < 0\]. Do đó
\[\eqalign{
& \cos \widehat {BAD} = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\widehat {BAD}} }} \cr
& = - {1 \over {\sqrt {1 + {{576} \over {49}}} }} = - {7 \over {25}} \cr} \]
\[\eqalign{
& \sin \widehat {BAD} = \cos \widehat {BAD}.\tan \widehat {BAD} \cr
& = {{ - 7} \over {25}}.{{ - 24} \over 7} = {{24} \over {25}} \cr} \]