Bài 3.1 trang 131 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình lập phương ABCDABCD cạnh a. Gọi Ovà O theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCDvà ABCD.
a] Hãy biểu diễn các vectơ \[\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {AO'} \]theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho.
b] Chứng minh rằng \[\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow {AB} \].
Giải:
a] *\[\overrightarrow {AO} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} = {1 \over 2}\overrightarrow {A'C'} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right]\]
\[\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {B{\rm{D}}} ,v.v....\]
*\[\overrightarrow {AO} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \]
\[\eqalign{
& = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} } \right] = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} } \right] \cr
& = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + {1 \over 2}\overrightarrow {B'D'} \cr
& = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + {1 \over 2}\overrightarrow {B'D'} ,v.v... \cr} \]
b] \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} \]
[vì \[\overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {DC} \]và \[\overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow {CB} \]] nên \[\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow {AB} \].
Bài 3.2 trang 131 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong không gian cho điểm Ovà bốn điểm A, B, C, Dphân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, Dtạo thành một hình bình hành là:
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \]
Giải:
Giả sử bốn điểm A, B, C, Dtạo thành một hình bình hành ta có:
\[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} - \overrightarrow {OA} \][với điểm Obất kì ]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} + \overrightarrow {OB} \]
Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:
\[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} + \overrightarrow {OB} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} - \overrightarrow {OA} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \]
Vì A, B, C, Dkhông thẳng hàng nên tứ giác ABCDlà hình bình hành.
Bài 3.3 trang 131 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi Pvà Qlần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BDlần lượt ta lấy các điểm M, Nsao cho
\[{{AM} \over {AC}} = {{BN} \over {B{\rm{D}}}} = k\left[ {k > 0} \right]\]
Chứng minh rằng ba vectơ \[\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \]đồng phẳng.
Giải:
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {P{\rm{D}}} } \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AP} } \right] + \left[ {\overrightarrow {B{\rm{D}}} - \overrightarrow {BP} } \right]} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left[ {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right] - \underbrace {\left[ {\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} } \right]}_{\overrightarrow 0 }} \right] \cr
& = {1 \over 2}.{1 \over k}\left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} } \right] \cr} \]
Vì \[\overrightarrow {AC} = {1 \over k}.\overrightarrow {AM} \]và \[\overrightarrow {B{\rm{D}}} = {1 \over k}.\overrightarrow {BN} \]
Đồng thời \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} \]và \[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} \], nên \[\overrightarrow {PQ} = {1 \over {2k}}\left[ {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right]\] vì \[\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} = \overrightarrow 0 \]
Vậy \[\overrightarrow {PQ} = {1 \over {2k}}\overrightarrow {PM} + {1 \over {2k}}\overrightarrow {PN} \]
Do đó ba vectơ \[\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \]đồng phẳng.