Bài 3.17 trang 179 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Giả sử hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f[\sin x]dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f[\cos x]dx} } \]
Hướng dẫn làm bài
Đổi biến số: \[x = {\pi \over 2} - t\] , ta được: \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f[\sin x]dx = - \int\limits_{{\pi \over 2}}^0 {f[\sin [{\pi \over 2} - t]]dt = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f[\cos t]dt} } } \]
Hay \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f[\sin x]dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f[\cos x]dx} } \]
Bài 3.18 trang 179 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Đặt \[{I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\]
a] Chứng minh rằng \[{I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\]
b] Tính I3 và I5.
Hướng dẫn làm bài
a] Xét với n > 2, ta có: \[{I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \]
Dùng tích phân từng phần với và , ta có:
\[{I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}\]
\[{= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + [n - 1]\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \]
\[= [n - 1]\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {[{{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x]dx} \]
\[= [n - 1]{I_{n - 2}} - [n - 1]{I_n}\]
Vậy \[{I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\]
b] \[{I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\]
Bài 3.19 trang 179 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Đặt \[{I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{[1 - x]}^n}} dx,m,n \in {N^*}\]. Chứng minh rằng:\[{I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1\]
Từ đó tính I1,2 và I1,3 .
Hướng dẫn làm bài
Dùng tích phân từng phần với \[u = {[1 - x]^n},dv = {x^m}dx\] , ta được:
\[{I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} \over {m + 1}}{[1 - x]^n}\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} } \right. + {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}{{[1 - x]}^{n - 1}}dx} \]
Vậy \[{I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}} {[1 - x]^{n - 1}}dx \]
\[= {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},n > 1,m > 0\].
\[{I_{1,2}} = {1 \over {12}}\] và \[{I_{1,3}} = {1 \over {20}}\]
Bài 3.20 trang 179 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:
a] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \]
b] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {[\root 3 \of {\sin x} - \root 3 \of {\cos x} } ]dx = 0\]
c] \[\int\limits_{ - {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {\ln {{1 - x} \over {1 + x}}} dx = 0\]
d] \[\int\limits_0^2 {[{1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1]dx = 0} \]
Hướng dẫn làm bài:
a] Đúng [vì vế trái bằng \[\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0} \]]
b] Đúng [theo bài 3.17]
c] Đúng [theo bài 3.16]
d] Sai: Vì \[1 + {1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]\]