Bài 3.24 trang 184 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {1 \over x}\], y = 0, x = 1 và x = a [a > 1]. Gọi thể tích đó là V[a]. Xác định thể tích của vật thể khi \[a \to + \infty \][tức là \[\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V[a]\]].
Hướng dẫn làm bài
\[V[a] = \pi [1 - {1 \over a}]\] và \[\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V[a] = \pi \]
Câu 3.25 trang 185 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Một hình phẳng được giới hạn bởi \[y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\]. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang [bởi n hình chữ nhật con như Hình bên].
a] Tính diện tích Sn của hình bậc thang [tổng diện tích của n hình chữ nhật con].
b] Tìm \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\] và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
Hướng dẫn làm bài
a] \[{S_n} = {{{1 \over n}[1 - {e^{ - 1}}]} \over {{e^{{1 \over n} - 1}}}}\]. HD: Theo hình 80 ta có:
\[{S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ - {1 \over n}}} + {e^{ - 2{1 \over n}}} + ... + {e^{ - {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ - {1 \over n}}}{{1 - {e^{ - 1}}} \over {1 - {e^{ - {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}[1 - {e^{ - 1}}]} \over {{e^{{1 \over n}}} - 1}}\]
b] \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}\]
Mặt khác \[\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx = 1 - {e^{ - 1}}} \]
Câu 3.26 trang 185 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
a] \[{\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\] với \[0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\]và \[{\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\]với \[\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\]
b] \[\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\]với \[0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\] và \[{\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\] với \[0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\];
c] {y = 2x x2 , y = x} và {y = 2x x2 , y = 2 x };
d] \[{\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\} \]và \[{\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\} \];
e] \[{\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\] và\[{\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Đúng
b] Đúng
c] Đúng
d] Đúng
e] Sai