Bài 36 trang 108 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho hypebol [H] có phương trình chính tắc \[{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\] Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a] Tiêu cự của [H] là 2c, trong đó \[{c^2} = {a^2} + {b^2}.\]
b] [H] có độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.
c] Phương trình hai đường tiệm cận của [H] là \[y = \pm {a \over b}x.\]
d] Tâm sai của [H] là \[e = {c \over a} > 1.\]
Giải
Các mệnh đề đúng là: a]; b]; d].
Mệnh đề sai là: c].
Bài 37 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau
\[\eqalign{
& a]{{{x^2}} \over 9} - {{{y^2}} \over 4} = 1; \cr
& b]{{{x^2}} \over 9} - {y^2 \over {16}} = 1; \cr
& c]{x^2} - 9{y^2} = 9. \cr} \]
Giải
a] Ta có: \[a = 3,b = 2,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {13.} \]
Tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - \sqrt {13} ;0} \right],\,{F_2}\left[ {\sqrt {13} ;0} \right]\]
Các đỉnh \[{A_1}\left[ { - 3;0} \right],{A_2}\left[ {3;0} \right]\]
Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 4
Phương trình tiệm cận của hypebol: \[y = \pm {2 \over 3}x.\]
b] Ta có: \[a = 3,b = 4,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5.\]
Tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - 5;0} \right],{F_2}\left[ {5;0} \right].\]
Các đỉnh \[{A_1}\left[ { - 3;0} \right],{A_2}\left[ {3;0} \right].\]
Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 8
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \[y = \pm {4 \over 3}x.\]
c] Ta có: \[{x^2} - 9{y^2} = 9 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} - {y^2} = 1\]
\[a = 3,b = 1,c = \sqrt {10} \]
Tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - \sqrt {10} ;0} \right],{F_2}\left[ {\sqrt {10} ;0} \right]\]
Các đỉnh: \[{A_1}\left[ { - 3;0} \right],\,{A_2}\left[ {3;0} \right]\]
Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo 2b = 2
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \[y = \pm {1 \over 3}x.\]
Bài 38 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho đường tròn [C] tâm \[{F_1}\], bán kính R và một điểm \[{F_2}\]ở ngoài [C]. Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua \[{F_2}\], tiếp xúc với [C] là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.
Giải
Gọi M là tâm đường tròn đi qua \[{F_2}\]và tiếp xúc với [C]
Ta có: \[|M{F_1} - M{F_2}| = R = 2a\]
Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol [H] có \[a = {R \over 2},c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\]
\[ \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} \over 4}\]
Phương trình chính tắc của [H] là:
\[{{{x^2}} \over {{{\left[ {{R \over 2}} \right]}^2}}} - {{{y^2}} \over {{{\left[ {{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} } \over 2}} \right]}^2}}} = 1.\]