Bài 3.61 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A[2; 0; 0], B[0; 0; 8] và điểm C sao cho \[\overrightarrow {AC} = [0;6;0]\]. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Hướng dẫn làm bài:
\[\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AC} = [0;6;0]} \cr {A[2;0;0]} \cr} } \right. \RightarrowC[2;6;0]\]
Do đó I[1; 3; 4]
Phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]qua I và vuông góc với OA là: x 1 = 0 ,\[[\alpha ]\] cắt OA tại K[1; 0; 0]
Khoảng cách từ I đến OA là:
\[IK = \sqrt {{{[1 - 1]}^2} + {{[0 - 3]}^2} + {{[0 - 4]}^2}} = 5\]
Bài 3.62 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD. A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
Hướng dẫn làm bài:
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B1 là gốc tọa độ, \[\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B} = \overrightarrow k \]. Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1[0; 0; 0], B[0; 0; 1], A1[1; 0; 0], D1[1; 1; 0], C[0; 1; 1], D[1; 1; 1], C1[0; 1; 0].
Suy ra\[M[0;0;{1 \over 2}],P[1;{1 \over 2};0],N[{1 \over 2};1;1]\]
Ta có\[\overrightarrow {MP} = [1;{1 \over 2}; - {1 \over 2}];\overrightarrow {{C_1}N} = [{1 \over 2};0;1]\]
Gọi\[[\alpha ]\] là mặt phẳng chứa C1Nvà song song với MP. \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow n = [{1 \over 2}; - {5 \over 4}; - {1 \over 4}]\] hay\[\overrightarrow n ' = [2; - 5; - 1]\]
Phương trình của \[[\alpha ]\]là \[ 2x 5[y 1] z = 0\] hay \[2x 5y z + 5 = 0\]
Ta có \[d[MP,{C_1}N] = d[M,[\alpha ]] = {{| - {1 \over 2} + 5|} \over {\sqrt {25 + 4 + 1} }} = {9 \over {2\sqrt {30} }}\]
Ta có:\[\cos [\widehat {MP,{C_1}N}] = {{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |} \over {|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\]. Vậy\[[\widehat {MP,{C_1}N}] = {90^0}\].