Bài 3.62 trang 164 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: \[{d_1}:x - y = 0\] và \[{d_2}:2x + y - 1 = 0\] Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \[{d_1}\] , đỉnh C thuộc \[{d_2}\] và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.21]
Vì \[A \in {d_1} \Rightarrow A\left[ {t;t} \right].\]
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \[B,D \in Ox\] nên \[C\left[ {t; - t} \right]\]
Vì \[C \in {d_2}\] nên \[2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\]. Vậy A[1 ; 1], C[1 ; -1].
Trung điểm AC là I[1 ; 0]. Vì I là tâm hình vuông nên
\[\left\{ \matrix{
IB = IA = 1 \hfill \cr
ID = IA = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
B \in Ox \hfill \cr
D \in Ox \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
B[b;0] \hfill \cr
D[d;0] \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
\left| {b - 1} \right| = 1 \hfill \cr
\left| {d - 1} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = 0,b = 2 \hfill \cr
d = 0,d = 2. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Suy ra B[0 ; 0] và D[2 ; 0] hoặc B[2 ; 0], D[0 ; 0].
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A[1 ; 1], B[0 ; 0], C[1 ; -1], D[2 ; 0]
hoặc A[1 ; 1], B[2 ; 0], C[1 ; -1], D[0 ; 0].
Bài 3.63 trang 164 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A[2;0] và B[6;4]. Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của [C] đến B bằng 5.
Gợi ý làm bài
Gọi tâm của [C] là I[a;b] và bán kính của [C] là R.
[C] tiếp xúc với Ox tai A \[\Rightarrow a = 2\] và \[\left| b \right| = R\]
\[IB = 5 \Leftrightarrow {\left[ {6 - 2} \right]^2} + {\left[ {4 - b} \right]^2} = 25\]
\[ \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 7 = 0 \Leftrightarrow b = 1,b = 7.\]
Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn [C 1]: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 1\]
Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn [C 2]: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 7} \right]^2} = 49.\]
Bài 3.64 trang 164 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: \[{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\] và đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn [C] và tiếp xúc ngoài vơi đường tròng [C].
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.22]
Đường tròn [C] có tâm I[1 ; 1], bán kính R = 1.
Vì \[M \in d\] nênM[x;x + 3].Yêu cầu của bài toán tương đương với:
\[MI = R + 2R \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {x + 2} \right]^2} = 9\]
\[ \Leftrightarrow x = 1,x = - 2\]
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M[1 ; 4] và M[-2 ; 1].
Bài 3.65 trang 164 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] : \[{[x - 1]^2} + {[y - 2]^2} = 4\] và đường thẳng d: x - y - 1 = 0.Viết phương trình đường tròn [C ] đối xứng vơi đường tròng [C] qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của [C ] và [C].
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.23]
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 1} \right].\] Do đó đường thẳng \[\Delta \] đi qua tâm \[I\left[ {1;2} \right]\] và vuông góc với d có phương trình :
\[{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 1}} \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\]
Tọa độ giao điểm H của d và là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{ \matrix{
x - y - 1 = 0 \hfill \cr
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left[ {2;1} \right]\]
Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó :
\[\left\{ \matrix{
{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3 \hfill \cr
{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow J[3;0].\]
Vì [C ] đối xứng với [C ] qua d nên [C ] có tâm là \[J\left[ {3;0} \right]\] và bán kính R = 2.
Do đó [C ] có phương trình là :
\[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} = 4\]
Tọa độ các giao điểm của [C ] và [C ] là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{ \matrix{
{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4 \hfill \cr
{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - y - 1 = 0 \hfill \cr
{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = x - 1 \hfill \cr
2{x^2} - 8x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,y = 0 \hfill \cr
x = 3,y = 2. \hfill \cr} \right.\]
Vậy tọa độ giao điểm của [C ] và [C ] là A[1 ; 0] và B[3 ; 2].