Câu 5 trang 93 SGK Hình học 10
Cho ba điểm \[A[4; 3], B[2; 7], C[-3; -8]\]
a] Tìm tọa độ điểm \[G\] , trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\].
b] Tìm \[T\] là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Chứng minh \[T, G, H\] thẳng hàng.
c] Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{
& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr
& {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \]
Vậy \[G\left[1,{2 \over 3}\right]\]
Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của \[H\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = [x - 4,y - 3];\overrightarrow {BC} = [ - 5, - 15] \cr
& \overrightarrow {BH} = [x - 2,y - 7];\overrightarrow {AC} = [ - 7, - 11] \cr
& \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 5[x - 4] - 15[y - 3] = 0 \Leftrightarrow x + y - 13 = 0 \cr
& \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 7[x - 2] - 11[y - 7] = 0 \Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \]
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x + y - 13 = 0 \hfill \cr
7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[13;0]\]
b] Tâm \[T\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] thỏa mãn điều kiện
\[TA = TB = TC TA^2= TB^2= TC^2\],cho ta:
\[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} +{\left[ {y-3} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right]^2} + {\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right]^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\]
\[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} +{\left[ {y-3} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y +8} \right]^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\]
Do đó tọa độ tâm \[T\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr
7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T[ - 5;1]\]
Ta có: \[\overrightarrow {TH} = [ - 18;1];\overrightarrow {TG} = [6;{-1 \over 3}]\]
Ta có: \[\overrightarrow {TH} = {3}\overrightarrow {TG} \]
Vậy ba điểm \[H, G, T\] thẳng hàng.
c] Đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] có tâm \[T[-5; 1]\], bán kính \[R = AT = \sqrt{85}\]
\[{R^2} = A{T^2} = {\left[ { - 5-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {1-3} \right]^2} = 85\]
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là:
\[[x + 5]^2+ [y 1]^2= 85\]
Câu 6 trang 93 SGK Hình học 10
Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng \[3x 4y + 12 = 0\] và \[12x+5y-7 = 0\]
Trả lời:
Gọi \[M[x; y]\] thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.
Khi đó, khoảng cách từ \[M\] đến \[d_1 : 3x - 4y + 12 = 0\] là:
\[d[M,{d_1}] = {{|3x - 4y + 12|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = {{|3x - 4y + 12|} \over 5}\]
Khoảng cách từ \[M\] đến \[d_2: 12x + 15y 7 = 0\] là:
\[d[M,{d_2}] = {{|12x + 5y - 7|} \over {\sqrt {144 + 25} }} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}}\]
Ta có: \[M\] thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \[d_1\] và \[d_2\] nên cách đều hai đường thẳng đó.Suy ra:
\[\eqalign{
& d[M,{d_1}] = d[M,{d_2}] \Leftrightarrow {{|3x - 4y + 12|} \over 5} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{3x - 4y + 12} \over 5} = {{12x + 5y - 7} \over {12}} \hfill \cr
{{3x - 4y + 12} \over 5} = - {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
21x + 77y - 191 = 0 \hfill \cr
99x - 27y + 121 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi \[d_1\] và \[d_2\] là:
\[\Delta _1: 21x + 77y 191 = 0\]
\[\Delta _2: 99x 27y + 121 = 0\]
Câu 7 trang 93 SGK Hình học 10
Cho đường tròn \[[C]\] có tâm \[I[1, 2]\] và bán kính bằng \[3\]. Chứng minh rằng tập hợp các điểm \[M\] từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với \[[C]\] tạo với nhau một góc \[60^0\] là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.
Trả lời:
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: \[\widehat {AMI} = {30^0}\]
\[IM = {{IA} \over {\sin \widehat {AMI}}} = {3 \over {\sin {{30}^0}}} = {3 \over {{1 \over 2}}} = 6\]
Gọi tọa độ của \[M\] là \[[x ;y]\] Ta có:
\[O{M^2} = {[x - 1]^2} + {[y - 2]^2} = 36\]
Vậy quỹ tích \[M\] là đường tròn tâm \[I [1; 2]\], bán kính \[R = 6\]
Phương trình đường tròn là: \[{[x - 1]^2} + {[y - 2]^2} = 36\]
Câu 8 trang 93 SGK Hình học 10
Tìm góc giữa hai đường thẳng \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\]trong các trường hợp sau:
a] \[\Delta_1\]:\[2x + y 4 = 0\] ;\[\Delta_2\]: \[5x 2y + 3 = 0\]
b] \[\Delta_1\]: \[y = -2x + 4\] ; \[{\Delta _2}:y = {1 \over 2}x + {3 \over 2}\]
Trả lời:
a] Vecto pháp tuyến \[\Delta_1\]là \[\overrightarrow {{n_1}} = [2;1]\]
Vecto pháp tuyến \[{\Delta _2}\]là \[\overrightarrow {{n_2}} = [5; - 2]\]
\[\eqalign{
& \cos [{\Delta _1},{\Delta _2}] = {{|\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} |} \over {|\overrightarrow {{n_1}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = {{|2.5 + 1.[ - 2]|} \over {\sqrt 5 .\sqrt 9 }} = {8 \over {\sqrt {145} }} \cr
& \Rightarrow [{\Delta _1},{\Delta _2}] \approx {48^0}21'59'' \cr} \]
b] \[y = -2x + 4 2x + y 4 = 0\]
\[y = {1 \over 2}x + {3 \over 2} \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\]
Vì \[2.1 + 1.[-2] = 0 \Delta_1{\Delta _2}\]
Chú ý:
_ Hệ số góc của \[\Delta_1\]là \[k = -2\]
_ Hệ số góc của \[{\Delta _2}\]là \[k' = {1 \over 2}\]
Vì \[k.k' = 2.{1 \over 2} = - 1 \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\]
Câu 9 trang 93 SGK Hình học 10
Cho elip \[[E] = {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\]. Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.
Trả lời:
Phương trình chính tắc của Elip \[[E] = {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\]có dạng là:
\[{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{a^2} = 16 \hfill \cr
{b^2} = 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 4 \hfill \cr
b = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 7 \cr} \]
_ Tọa độ các đỉnh \[A_1[-4;0], A_2[4; 0], B_1[0; -3]\] và \[B_2[0; 3]\]
_ Tọa độ các tiêu điểm \[F_1[-\sqrt7; 0]\] và \[F_2[\sqrt7; 0]\]