Bài 53 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \[x=0\] và \[x=2\], biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bơi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \[\left[ {0 \le x \le 2} \right]\]là một nửa hình tròn đường kính \[\sqrt 5 {x^2}\].
Giải
Diện tích của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \[x\] là:
\[S\left[ x \right] = {1 \over 2}\pi {\left[ {{{\sqrt 5 } \over 2}{x^2}} \right]^2} = {1 \over 2}.{{5\pi } \over 4}{x^4} = {{5\pi } \over 8}{x^4}\]
Vậy thể tích của vật thể là : \[V = \int\limits_0^2 {S\left[ x \right]dx = {{5\pi } \over 8}} \int\limits_0^2 {{x^4}dx} = \left. {{{5\pi } \over 8}.{{{x^5}} \over 5}} \right|_0^2 = 4\pi .\]
Bài 54 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Xét hình phẳng giới hạn bởi đường hypebol \[y = {2 \over x}\]và các đường thẳng \[y=1\] , \[y = 4,x = 0.\]Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục tung.
Giải
Ta có \[y = {2 \over x} \Leftrightarrow x = {2 \over y}\]
Thể tích cần tìm là : \[V = \pi \int\limits_1^4 {\left[ {{2 \over y}} \right]^2} dy = 4\pi \int\limits_1^4 {{{dy} \over {{y^2}}}} = \left. {4\pi \left[ {{-1 \over y}} \right]} \right|_1^4 = 3\pi \]
Bài 55 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm số : \[y = \sqrt {\cos x} \left[ {0 \le x \le {\pi \over 2}} \right]\,\] và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tọa thành khi quay hình đó quay trục tung.
Giải
Hoành độ giao điểm của hàm số \[y = \sqrt {\cos x} \left[ {0 \le x \le {\pi \over 2}} \right]\,\]với trục hoành là nghiệm phương trình :
\[\left\{ \matrix{
\sqrt {\cos x} = 0 \hfill \cr
0 \le x \le {\pi \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = {\pi \over 2}\]
Vậy thể tích cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\cos xdx = \left. {\pi {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi \over 2}}} = \pi \]
Bài 56 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \[x\left[ {y + 1} \right] = 2\]và các đường thẳng \[x = 0,y = 0,y = 3.\] tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.
Giải
Đường cong có phương trình là \[x = {2 \over {y + 1}}.\]
Vậy thể tích cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_0^3 {{4 \over {{{\left[ {y + 1} \right]}^2}}}} dy = \left. {4\pi \left[ { - {1 \over {y + 1}}} \right]} \right|_0^3 = 3\pi \]