Câu 8 trang 6 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không:
a] [-4 ; 5]
\[\left\{ \matrix{
7x - 5y = - 53 \hfill \cr
- 2x + {\rm{9}}7 = 53 \hfill \cr} \right.\]
b] [3 ; -11]
\[\left\{ \matrix{
{0,2 + 1,7 = - 18,1} \cr
{3,2x - y = 20,6}\hfill \cr} \right.\]
c] [1,5 ; 2], [3 ; 7]
\[\left\{ \matrix{
{10x - 3y = 9} \cr
{ - 5x + 1,5y = - 4,5}\hfill \cr} \right.\]
d] [1 ; 8]
\[\left\{ \matrix{
{5x + 2y = 9} \cr
{x - 14y = 5}\hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Thay x = -4 ; y = 5 vào từng phương trình của hệ:
7.[-4] 5.5 = -28 25 = -53
-2. [-4] + 9.5 = 8 + 45 = 53
Vậy cặp [-4 ; 5] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
{7x - 5y = - 53} \cr
{ - 2x + 9y = 53}\hfill \cr} \right.\]
b] Thay x = 3 ; y = -11 vào từng phương trình của hệ:
0,2.3 + 1,7 [-11] = 0,6 18,7 = -18,1
3,2.3 + 11 = 9,6 + 11 = 20,6
Vậy cặp [3 ; -11] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
{0,2x + 1,7y = - 18,1} \cr
{3,2x - y = 20,6}\hfill \cr} \right.\]
c] Thay x = 1,5 ; y = 2 vào từng phương trình của hệ:
10.1,5 3.2 = 15 6 = 9
-5.1,5 + 1,5.2 = -7,5 + 3 = -4,5
Vậy cặp [1,5 ; 2] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
{10x - 3y = 9} \cr
{ - 5x + 1,5y = - 4,5}\hfill \cr} \right.\]
Thay x = 3 ; y = 7 vào từng phương trình của hệ:
10.3 3.7 = 30 - 21 = 9
-5.3 +1,5.7 = -15 + 10,5 = -4,5
Vậy cặp [3 ; 7] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
{10x - 3y = 9} \cr
{ - 5x + 1,5y = - 4,5}\hfill \cr} \right.\]
d] Thay x = 1 ; y = 8 vào từng phương trình của hệ:
5.1 + 2.8 = 5 + 16 = 21
Vậy cặp [1 ; 8] không phải là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
{5x + 2y = 9} \cr
{x - 14y = 5}\hfill \cr} \right.\]
Câu 9 trang 7 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình [nếu có thể ] rồi đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao [không vẽ đồ thị]:
\[a]\left\{ \matrix{
4x - {\rm{9y}} = 3 \hfill \cr
- 5x - 3y = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[b]\left\{ \matrix{
{2,3x + 0,8y = 5} \cr
{2y = 6}\hfill \cr} \right.\]
\[c]\left\{ \matrix{
{3x = - 5} \cr
{x + 5y = - 4}\hfill \cr} \right.\]
\[d]\left\{ \matrix{
{3x - y = 1} \cr
{6x - 2y = 5}\hfill \cr} \right.\]
Giải
\[a]\left\{ \matrix{
4x - {\rm{9}}y = 3 \hfill \cr
- 5x - 3y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = {4 \over {\rm{9}}}y - {1 \over 3} \hfill \cr
y = - {5 \over 3}x - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Hai đường thẳng có hệ số góc \[{4 \over 9} \ne - {5 \over 3}\]nên chúng cắt nhau
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
\[b]\left\{ \matrix{
2,3x + 0,{\rm{8}}y = 5 \hfill \cr
2y = {\rm{6}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = - {{23} \over {\rm{8}}}x + {{25} \over 4} \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right.\]
Đường thẳng \[y = - {{23} \over 8}x + {{25} \over 4}\]cắt hai trục tọa độ
Đường thẳng y = 3 song song với trục hoành nên 2 đường thẳng trên cắt nhau
Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
\[c]\left\{ \matrix{
3x = - 5 \hfill \cr
x + 5y = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {5 \over 3} \hfill \cr
y = - {1 \over 5}x - {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\]
Đường thẳng \[x = - {5 \over 3}\]song song với trục tung
Đường thẳng \[y = - {1 \over 5}x - {4 \over 5}\]cắt hai trục tọa độ nên 2 đường thẳng đó cắt nhau
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\[d]\left\{ \matrix{
3x - y = 1 \hfill \cr
{\rm{6}}x - 2y = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x - 1 \hfill \cr
y = 3x - {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau bằng 3 có tung độ gốc khác nhau: \[- 1 \ne - {5 \over 2}\]nên chúng song song. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 10 trang 7 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Cho phương trình 3x 2y = 5
a] Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất
b] Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ vô nghiệm
c] Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ có vô số nghiệm
Giải:
Cho phương trình \[3x - 2y = 5 \Leftrightarrow y = {3 \over 2}x - {5 \over 2}\]
a] Thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ta thêm đường thẳng có hệ số góc khác \[{3 \over 2}\]. Chẳng hạn ta thêm đường thẳng\[y = {2 \over 3}x + {1 \over 3} \Leftrightarrow 2x - 3y = - 1\]
Ta có hệ
\[\left\{ {\matrix{
{3x - 2y = 5} \cr
{2x - 3y = - 1} \cr} } \right.\]
Hệ có 1 nghiệm duy nhất.
b] Thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được môt hệ vô số nghiệm. Ta thêm đường thẳng có hệ số góc bằng \[{3 \over 2}\]và tung độ góc khác\[- {5 \over 2}\]
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng\[y = {3 \over 2}x - {1 \over 2} \Leftrightarrow 3x - 2y = 1\]
Ta có hệ:
\[\left\{ {\matrix{
{3x - 2y = 5} \cr
{3x - 2y = 1} \cr} } \right.\] Hệ vô nghiệm
c] Thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ có vô số nghiệm ta thêm đường thẳng có hệ số góc bằng \[{3 \over 2}\]và tung độ góc bằng\[- {5 \over 2}\]
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng
\[y = {3 \over 2}x - {5 \over 2}\]\[\Leftrightarrow \]\[6x - 4y = 10\]
Ta có hệ:
\[\left\{ {\matrix{
{3x - 2y = 5} \cr
{6x - 4y = 10} \cr} } \right.\] Hệ vô số nghiệm.
Câu 11 trang 7 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối liên hệ giữa các hằng số a, b, c và các hằng số a, b. c để hệ phương trình
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\]
a] Có nghiệm duy nhất
b] Vô nghiệm
c] Có vô số nghiệm
Áp dụng:
a] Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất
b] Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm
c] Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm
Giải
Ta chia ra các trường hợp:
a] Trường hợp a, b, a, b đều khác 0
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {a \over b}x + {c \over b}} \cr
{y = - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\]
1. Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng đó cắt nhau tức là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau. \[{a \over b} \ne {{a;} \over {b'}} \Rightarrow {a \over {a'}} \ne {b \over {b'}}\]
2. Hệ phương trình đó vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó song song. Tức là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ góc khác nhau
\[\left\{ {\matrix{
{{a \over b} = {{a'} \over {b'}}} \cr
{{c \over b} \ne {{c'} \over {b'}}} \cr} \Leftrightarrow {a \over {a'}} = {b \over {b;}} = {c \over {c'}}} \right.\]
[nếu c 0] hoặc \[{a \over {a'}} = {b \over {b'}} \ne {c \over {c'}}\][nếu c 0]
3. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó trùng nhau tức là hai đường thẳng có cùng hệ số góc và tung độ góc
\[\left\{ {\matrix{
{{a \over b} = {{a'} \over {b'}}} \cr
{{c \over b} = {{c'} \over {b'}}} \cr} \Leftrightarrow {a \over {a'}} = {b \over {b'}} = {c \over {c'}}} \right.\]
hay \[{a \over {a'}} = {b \over {b'}} = {c \over {c'}}\]
b] Trường hợp a = 0 và a 0
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {c \over b}} \cr
{y = - {{a'} \over b}x + {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\]
[với b 0]
Hoặc
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {c \over b}} \cr
{x = {{c'} \over {a'}}} \cr} } \right.} \right.\]
[với b 0]
Vì đường thẳng \[y = {c \over b}\]song song hoặc trùng với trục Ox, còn đường thẳng: \[y = - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\]; đường thẳng \[x = {{c'} \over {a'}}\]luôn luôn cắt trục hoành nên hai đường thẳng đó luôn luôn cắt nhau. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c] Trường hợp a = a = 0
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {c \over b}} \cr
{y = {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\]
Hệ vô số nghiệm khi \[{c \over b} \ne {{c'} \over {b'}}\]
Hệ có vô số nghiệm khi \[{c \over b} = {{c'} \over {b'}}\]
d] Trường hợp b = 0 ; b 0
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {c \over a}} \cr
{y = - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\]
[với a 0]
Hoặc
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {c \over a}} \cr
{y = {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\]
[với a = 0]
Vì đường thẳng \[x = {c \over a}\]song song hoặc trùng trục tung Oy
Đường thẳng \[y = - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\]; đường thẳng \[y = {{c'} \over {b'}}\]luôn cắt trục Oy nên hai đường thẳng đó luôn luôn cắt nhau. Hệ có một nghiệm duy nhất
e] Trường hợp b = b = 0
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {c \over a}} \cr
{x = {{c'} \over {a'}}} \cr} } \right.} \right.\]
Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng đó song song:\[{c \over a} \ne {{c'} \over {a'}}\]
Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó trùng nhau: \[{c \over a} = {{c'} \over {a'}}\]
Áp dụng:
a] Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
\[\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{3x - y = 3} \cr} } \right.\]
b] Hệ phương trình vô nghiệm:
\[\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{4x + 6y = 5} \cr} } \right.\]
c] Hệ phương trình có vô số nghiệm:
\[\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{4x + 6y = 2} \cr} } \right.\]