Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a 0 và b > 0 thì: \[{{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\]
Giải
Ta có:
\[\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow [a - b][{a^2} - {b^2}] \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {[a - b]^2}[a + b] \ge 0 \cr} \]
Điều suy ra luôn đúng.
Vậy \[{{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\]
Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
a] Chứng minh rằng, nếu \[x y 0\] thì \[{x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\]
b] Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \[{{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\]
Giải
a] Với \[x y 0\] , ta có:
\[\eqalign{
& {x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}} \Leftrightarrow x[1 + y] \ge y[1 + x] \cr
& \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \cr} \]
Điều này đúng với giả thiết.
Vậy ta được điều cần phải chứng minh.
b] Vì \[|a b| |a| + |b|\] nên theo câu a ta có:
\[{{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a| + |b|} \over {1 + |a| + |b|}} = {{|a|} \over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} \over {1 + |a| + |b|}} \le\]
\[{{|a|} \over {1 + |a|}} + {{|b|} \over {1 + |b|}}\]
Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = 0\]
Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
a] Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \[{a \over b} + {b \over a} \ge 2\]
b] Nếu a, b là hai số trái dấu thì \[{a \over b} + {b \over a} \le - 2\]
Giải
a] Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \[{a \over b}\,;\,{b \over a}\]là hai số dương nên:
\[{a \over b} + {b \over a} \ge 2\sqrt {{a \over b}.{b \over a}} = 2\][theo bất đẳng thức Cô-si]
b] Nếu a, b là hai số trái dấu thì:
\[ - {a \over b} + [ - {b \over a}] \ge 2 \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \le - 2\]
Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = [x + 3][5 x]\] với \[-3 x 5\]
Giải
Vì \[-3 x 5\] nên \[x + 3 0\] và \[5 x 0\]
Hai số không âm nên \[x + 3\] và \[5 x\] có tổng là: \[[x + 3] + [5 x] = 8\] không đổi
Do đó: f[x] đạt giá trị lớn nhất khi \[x + 3 = 5 x x = 1\]
Vậy với x = 1, f[x] đạt giá trị lớn nhất bằng 16.
Vì \[f[x] 0\] nên giá trị nhỏ nhất của \[f[x] = 0\] khi \[x = -3\] hoặc \[x = 5\]