Bài 9 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a] \[y = {{3x + 1} \over {{x^2} - 9}}\]
b] \[y = {x \over {1 - {x^2}}} - \sqrt { - x} \]
c] \[y = {{x - 3\sqrt {2-x} } \over {\sqrt {x + 2} }}\]
d] \[y = {{\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} } \over {[x - 2][x - 3]}}\]
Giải
a] y xác định \[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm {\rm{ }}3\]
Vậy tập xác định \[D = \mathbb R\backslash \left\{ { \pm {\rm{ }}3} \right\}\]
b]
y xác định
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 - {x^2} \ne 0 \hfill \cr
- x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne \pm 1 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[D = [-;-1]\cup [-1; 0]\]
c]
y xác định
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 - x \ge 0 \hfill \cr
x + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr
x > - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 < x \le 2\]
Vậy \[D = [-2, 2]\]
d]
y xác định
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
4 - x \ge 0 \hfill \cr
[x - 2][x - 3] \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le 4 \hfill \cr
x \ne 2;\,x \ne 3 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 \le x \le 4 \hfill \cr
x \ne 2;x \ne 3 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[ D = [1, 2] [2, 3] [3, 4]\]
Bài 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho hàm số:
\[f[x] = \left\{ \matrix{
- 2[x - 2];\,\,\, - 1 \le x < 1 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 1} ;\,\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
a] Cho biết tập xác định của hàm số f
b] Tính \[f[-1]; f[0,5]; f[{{\sqrt 2 } \over 2} ]; f[1]; f[2]\]
Giải
a] Tập xác định của f là \[D = [-1, +]\]
b] Ta có:
\[f[-1] = -2[-1 2] = 6\]
\[f[0,5] = -2[0,5 2] = 3\]
\[f[{{\sqrt 2 } \over 2}] = - 2[{{\sqrt 2 } \over 2} - 2] = - \sqrt 2 + 4\]
\[f[1] = 0\]
\[f[2] =\sqrt 3\]
Bài 11 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Trong các điểm \[A[-2, 8]; B[4, 12]; C[2, 8]; D[5, 25 +\sqrt 2 ]\]
Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số \[f[x] = {x^2} + \sqrt {x - 3} \]? Vì sao?
Giải
Tập xác định của hàm số \[D = [3; +]\]
Ta có:
\[x = -2\] và \[x = 2\] không thuộc tập xác định nên điểm \[A[-2; 8]\] và \[C[2; 8]\] không thuộc đồ thị hàm số.
Ta có:
\[f[4] = {4^2} + \sqrt {4 - 3} = 17\] \[ B[4; 12]\] không thuộc đồ thị hàm số
\[f[5] = {5^2} + \sqrt {5 - 3} = 25 + \sqrt 2 \] \[ D[5; 25 +\sqrt 2 ]\] thuộc đồ thị hàm số
Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a] \[y = {1 \over {x - 2}}\]trên mỗi khoảng \[[-; 2]\] và \[[2; +]\]
b] y = x2 6x + 5 trên mỗi khoảng \[[-; 3]\] và \[[3; +]\]
c] y = x2005 + 1 trênn khoảng \[[-; +]\]
Giải
a] \[f[x] = {1 \over {x - 2}}\]
+ Với x1; x2 \[[-; 2]\] và x1 x2; ta có:
\[f[{x_2}] - f[{x_1}] = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} = {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}}\]
\[= {{{x_1} - {x_2}} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}}\]
\[ \Rightarrow {{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}} < 0\]
Vậy hàm số \[y = {1 \over {x - 2}}\]nghịch biến trên \[[-; 2]\]
+ Với x1; x2 \[[2; +]\] và x1 x2; ta có:
\[{{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}} < 0\]
Vậy hàm số \[y = {1 \over {x - 2}}\]nghịch biến trên \[[2; +]\]
Bảng biến thiên
b] f[x] = x2 6x + 5
+ Với x1; x2 \[[-; 3]\] và x1 x2; ta có:
f[x2] f[x1] = x22 6x2 + 5 [x12 6x1 + 5]
= x22 - x12 + 6[x1 x2] = [x2 x1][x1 + x2 6]
\[ \Rightarrow {{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\][vì x1 < 3; x2 < 3]
Vậy hàm số y = x2 6x + 5 nghịch biến trên \[[-, 3]\]
+ Với x1; x2 \[[3, +]\] và x1 x2; ta có:
\[{{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\] [vì x1 > 3; x2 > 3]
Vậy hàm số y = x2 6x + 5 đồng biến trên \[[3;+]\]
Bảng biến thiên
c]
Với mọi x1, x2 \[[-; +]\] , ta có x1< x2
\[\Rightarrow\] x12005< x22005
\[\Rightarrow\]x12005+ 1 < x22005+ 1
hay f[x1] < f[x2] [y = f[x] = x2005+ 1].
Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên\[[-; +]\]