Hai đường thẳng song song có vectơ

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với d’ và chứa d1

- Viết phương trinh mặt phẳng [Q] song song với d’ và chứa d2

- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q]

Cách 2:

M = d ∩ d1; N = d ∩ d2

Vì d // d’ nên

và cùng phương hay

Ví dụ: 1

Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1, d2 và song song với d3 lần lượt là

- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d3

Ta có vectơ pháp tuyến của [P] là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của [P] là

Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc [P] là : [2; -2; 1]

Phương trình mặt phẳng [P] là: 1.[x – 2] – 1.[y + 2] + 1. [z – 1] = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng [Q] chứa d2 và song song với d3

Ta có vectơ pháp tuyến của [Q] là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của [Q] là

Một điểm thuộc d2 là điểm thuộc [Q] là : [7; 3; 9]

Phương trình mặt phẳng [Q] là: 0.[x – 7] + 1.[y – 3] + 2. [z – 9] = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q] nên

Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương là :

Trục Ox có vecto chi phương

- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của [P] là

=>

Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc [P] là : [0; 0; 1]

Phương trình mặt phẳng [P] là: 0.[x – 0] + 3.[y – 0] – 2 . [z – 1] = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng [Q] chứa d2 và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của [Q] là

=>

Một điểm thuộc d2 là 1 điểm thuộc [Q] là : [2; -1; -1]

Phương trình mặt phẳng [Q] là: 0.[x – 2] + 2.[y + 1] – 3 . [z + 1] = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q] nên

Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2:

M = d ∩ d1 => M [t; 2t; 1+ 3t]

N = d ∩ d2 => N [2-t’; -1+3t’; -1+2t’]

Ox có 1 vectơ chỉ phương là

cùng phương với

=>

=>

d//Ox nên

Vậy phương trình của d là:

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:

A .

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A [- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a]

Do B thuộc d2 nên tọa độ B [ 1+ b; 2b; - 1+ 3b]

Vecto

là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

.

+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto

cùng phương

=> có một số k thỏa mãn

=> Tọa độ A[ 2; 3; 3] và B[2; 2; 2]

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[ 2; 3; 3] và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Cho hai điểm M[ 1;1;1 ] và N[0; -2 ; 3] . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A[ a; 3- 2a; 1- a]

+ Điểm B thuộc d2 nên B[ 1- b;2+ 2b; - 2] .

=> Vecto

là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và trục Ox; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Trục Ox: đi qua O [0; 0; 0]và nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Ox:

.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Ox lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 1+ a; - 3+ 3a; - 2a]

+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B[ b; 0; 0] .

=> Vecto

là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là:

.

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

⇔

=> tọa độ A[ 2;0; - 2] và B[ 2; 0; 0 ]

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A[ 2; 0; -2] và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

; cho hai điểm A[ 1; 0; -2] và B[ -1; 2; 4]. Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d1

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[ 0; 1;1] .

+ Đường thẳng AB đi qua A [1; 0; -2] và nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d1 nên H [ - a; - 1+ 2a; 3+ a]

+ Do K thuộc AB nên K[ 1- b; b; - 2+ 3b]

Đường thẳng d nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ

Chọn C.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

và cho hai điểm A[-1; 2; 1]; B[ 1; 0; 1]. Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với trục Oy. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. [ -1; 2; 0]

B. [0; -2; - 3]

C. [2; 3; 1]

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A[ -1; 2; 1] và hận vecto

làm vecto chỉ phương

=> PHương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d1 nên M[ - 2; 1+ m; 2]

+ Do N thuộc AB nên N[ -1+ n; 2- n; 1]

=> Đường thẳng d nhận vecto

làm vecto chỉ phương

Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto

cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.

Chọn D

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]: x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng

, . Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng [P] và cắt hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi

Do

cùng phương

⇔

Đường thẳng Δ đi qua N[ 0; -1; 1] và có vectơ chỉ phương

⇒Δ:

Chọn C.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

và mặt phẳng [P]: x+ y- 2z + 3= 0 . Gọi Δ là đường thẳng song song với [P] và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Điểm A thuộc d1 nên A[ 1+ 2a; - 1+ a;a]

Điểm B thuộc d2 nên B[ 1+ b; 2+ 2b; b]

=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến

Vì Δ// mp [P] nên

=>

⇔ 1[ b- 2a] + 1[ 3+ 2b- a] – 2[ b- a] = 0 ⇔ b- 2a + 3 + 2b – a – 2b + 2a= 0 ⇔ b – a+ 3= 0 ⇔ b= a- 3

Khi đó

nên

Theo đề bài:

⇔ 2a2+ 27 = 29 ⇔ a2= 1

⇔

Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là

Chọn A.

Câu 1:

Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết

. Tìm tọa độ giao điểm của d và d2?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B

+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 2a; -2+ a; -1]

+ Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ b; 0; b]

=> Đường thẳng d nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ đường thẳng d3 có vecto chỉ phương

. Mà d// d3 nên đường thẳng d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ giao điểm của d và d2 là:

Chọn A.

Câu 2:

Cho 2 đường thẳng

. Đường thẳng d cắt d1 và Oz; song song với d2. Tìm tọa độ giao điềm của d và trục Oz

A. N[0;0;-3]

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Gọi M = d ∩ d1 => M [ - 2- m; 2m; - 2m]

Gọi N = d ∩ Oz => N [ 0; 0; n]

Vecto

là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là

.

Lại có đường thẳng d// d2 nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương

=> Vecto u→ cùng phương với

=>

=> là giao điểm của d và Oz

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:

A .

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A [ -2a; 1+3a; 1+ 2a]

Do B thuộc d2 nên tọa độ B [ - 2b; 1+ b; - 1+ b]

Vecto

là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

.

+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương

=> hai vecto

cùng phương nên có một số k thực thỏa mãn

=> Tọa độ A[ - 2; 4; 3] và B[ - 6; 4; 2]

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[ - 2; 4; 3] và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Cho hai điểm M[2; 1; -2] và N[ 3; 2; 1] . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1; 2a; 1-a]

+ Điểm B thuộc d2 nên B[ - b; 2; -2+ b] .

=> Vecto

là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và trục Oy; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Trục Oy: đi qua O [0; 0; 0]và nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Oy:

.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Oy lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 1+ a; -a; -2]

+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B[0; b; 0] .

=> Vecto

là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là:

.

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

=> tọa độ A[0; 1; - 2] và B[ 0; 1; 0 ]

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B[ 0; 1; 0] và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

; cho hai điểm A[-2; 1; -3] và B[ - 2; 1; -1]. Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và AB

A.[-2;1;0]

B. [ -2; 1; 2]

C. [-2; 1; -4]

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[-2; 1; -2] .

+ Đường thẳng AB đi qua A [-2; 1; -3] và nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d1 nên H [ 1+ a; 2a; -1+ a ]

+ Do K thuộc AB nên K[ - 2; 1; - 3+ b]

Đường thẳng d nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto

cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ K[ - 2; 1; - 4]

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

và cho hai điểm A[0; 1; 2]; B[2; 2; 2]. Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với trục Oz.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A[0;1;2] và hận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d1 nên M[ 1+ m; 1- m; - 1]

+ Do N thuộc AB nên N[ 2n; 1+ n; 2]

=> Đường thẳng d nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto

cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 sao cho:

=>

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N[ 2/3; 4/3;2] và có vecto chỉ phương .

=> Phương trình d:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Gọi Δ là đường thẳng song song với [P]: x+ y + z- 7= 0 và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ là.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1+ 2a; a; - 2- a]

Điểm B thuộc d2 nên B[ 1+b; -2+ 3b; 2- 2b]

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

+ Mặt phẳng [ P] có vectơ pháp tuyến

+ Vì đường thẳng Δ// [ P] nên

=>

⇔ 1[ b- 2a] + 1[ 3b- a- 2] + 1[ - 2b+ a+ 4] = 0

⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1

=>

Khi đó :

Dấu “=” xảy ra khi

Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

mặt cầu [S]: [ x-1]2 + [y+3]2+ [z+ 1]2 = 29 và A[ 1; -2; 1]. Đường thẳng Δ cắt d và [S] lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M[ 2+ t; 1+ 2t;1- t]

+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N[ -t; - 5- 2t;1+ t] .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[1; -2; 1] và có vectơ chỉ phương

=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp