- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Trong không gianOxyzcho bốn điểmA[1;1;0], B[0;2;1], C[1;0;2], D[1;1;1].
LG a
Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {AB} = [ - 1;1;1],\overrightarrow {AC} = [0; - 1;2],\overrightarrow {AD} = [0;0;1]\]
Ta có : \[\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] không đồng phẳng. Do đó bốn điểmA, B, C, Dkhông đồng phẳng và
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}.\]
LG b
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giácABC,trọng tâm của tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
GọiGlà trọng tâm của tam giácABCthì \[G = \left[ {{2 \over 3};1;1} \right]\]
GọiGlà trọng tâm của tứ diệnABCDthì \[G' = \left[ {{3 \over 4};1;1} \right]\]
LG c
Tính diện tích các mặt của tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \]
\[= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|}^2}} = {{\sqrt {14} } \over 2}\]
\[\eqalign{ & {S_{ACD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\cr& = {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 2 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 2 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 0 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|}^2}} = {1 \over 2}. \cr & {S_{ADB}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 0 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 0 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|}^2}} = {{\sqrt 2 } \over 2}. \cr & {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{ - 2 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|}^2} + \left| \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.{{\left. \matrix{ - 2 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|}^2}} = {{\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \]
LG d
Tính độ dài các đường cao của tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
Từ công thức tính thể tích khối tứ diện \[V = {1 \over 3}Bh\] [Blà diện tích đáy,hlaf chiều cao tương ứng ] ta suy ra \[h = {{3V} \over B}.\]
Vậy nếu gọi \[{h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\] lần lượt là chiều cao hạ từ đỉnhA, B,C, Dthì ta có :
\[\eqalign{ & {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 3 }},\cr&{h_B} = {{3V} \over {{S_{ACD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{1 \over 2}}} = 1. \cr & {h_C} = {{3V} \over {{S_{ABD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 2 }},\cr&{h_D} = {{3V} \over {{S_{ABC}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt {14} } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt {14} }}. \cr} \]
LG e
Tính góc giữa hai đường thẳngABvàCD.
Lời giải chi tiết:
Vì \[\overrightarrow {AB} = [ - 1;1;1],\overrightarrow {CD} = [0;1; - 1]\] nên \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\], suy ra góc giữaAB vàCDbằng900.
LG g
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
GọiI[x;y;z]là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD.Khi đó, ta có
\[ \left\{ \matrix{ I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr I{A^2} = ID \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2x + 2y + 2z = 3 \hfill \cr - 2y + 4z = 3 \hfill \cr 2z = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = - {1 \over 2} \hfill \cr z = {1 \over 2}. \hfill \cr} \right. \]
Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giácABCDlà \[I\left[ { - {3 \over 2}; - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\] và bán kính của mặt cầu đó là
\[R = ID = \sqrt {{{\left[ {{5 \over 2}} \right]}^2} + {{\left[ {{3 \over 2}} \right]}^2} + {{\left[ {{1 \over 2}} \right]}^2}} = {{\sqrt {35} } \over 2}.\]
Do đó, phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCDlà
\[{\left[ {x + {3 \over 2}} \right]^2} + {\left[ {y + {1 \over 2}} \right]^2} + {\left[ {z - {1 \over 2}} \right]^2} = {{35} \over 4}.\]