- LG a
- LG b
Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị các hàm số \[y = 4 - {x^2},y = - x + 2;\]
Phương pháp giải:
- Tìm hoành độ giao điểm.
- Tính diện tích theo công thức \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[4 - {x^2} = - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\]
Với \[x \in \left[ { - 1;2} \right]\] thì \[ - {x^2} + x + 2 \ge 0\] \[ \Rightarrow \left| { - {x^2} + x + 2} \right| = - {x^2} + x - 2\]
Khi đó
Do đó
\[\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {4 - {x^2} - \left[ { - x + 2} \right]} \right|} dx \cr &= \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + x + 2} \right|} dx \cr
&= \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ { - {x^2} + x + 2} \right]} dx \cr &= \left. {\left[ { - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right]} \right|_{ - 1}^2 \cr &= \left[ { - \dfrac{8}{3} + 2 + 4} \right] - \left[ {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2} \right]\cr &= {9 \over 2} \cr} \]
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {4 - {x^2} - \left[ { - x + 2} \right]} \right|dx} \\
= \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + x + 2} \right|dx} \\
= \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ { - {x^2} + x + 2} \right]dx} } \right|\\
= \left| {\left. {\left[ { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right]} \right|_{ - 1}^2} \right|\\
= \left| {\dfrac{9}{2}} \right| = \dfrac{9}{2}
\end{array}\]
LG b
Các đường cong có phương trình \[x = 4 - 4{y^2}\] và \[x = 1 - {y^4}\] trong miền \[x\ge0\].
Phương pháp giải:
- Giải phương trình \[f[y]=g[y]\]
- Sử dụng công thức \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ y \right] - g\left[ y \right]} \right|dy} \]
Lời giải chi tiết:
Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là
\[4 - 4{y^2} = 1 - {y^4} \Leftrightarrow {y^4} - 4{y^2} + 3 = 0 \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{y^2} = 1 \hfill \cr
{y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = \pm 1 \hfill \cr
y = \pm \sqrt 3\; [\text{ loại vì } x