- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau :
LG a
\[\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{& \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left[ {\sin x + \sin 3x} \right] + \sin 2x = \left[ {\cos x + \cos 3x} \right] + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\left[ {2\cos x + 1} \right] - \cos 2x\left[ {2\cos x + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {2\cos x + 1} \right]\left[ {\sin 2x - \cos 2x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2\cos x + 1 = 0} \cr {\sin 2x - \cos 2x = 0} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cos x = - {1 \over 2}} \cr {\tan 2x = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.,k \in\mathbb Z \cr} \]
LG b
\[\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{& \sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x \cr &\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin 5x\cr&\Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x \cr & \Leftrightarrow \sin \left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = \sin 5x \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{5x = x + {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {5x = {{3\pi } \over 4} - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over {16}} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 3}} \cr} ,k \in\mathbb Z} \right. \cr} \]
LG c
\[{1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}}\]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ : \[\sin4x 0\] [điều kiện này đã bao gồm \[\sin 2x 0\] và \[\cos2x 0\]].
Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với \[\sin4x\] :
\[\eqalign{& {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr &\Leftrightarrow \frac{{\cos 2x + \sin 2x}}{{\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{{\sin 2x\cos 2x}}\cr&\Rightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1\cr&\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cr&\Leftrightarrow \sin \left[ {2x + {\pi \over 4}} \right] = \sin {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x+\frac{\pi }{4}= \frac{\pi }{4}+k2\pi } \cr {2x +\frac{\pi }{4}= \pi-\frac{\pi }{4}+ k2\pi } \cr} } \right. \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k2\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\]
Ta thấy : Nếu \[2x = k2π\] thì \[\sin2x = 0\]; nếu \[2x = {\pi \over 2} + k2\pi \] thì \[\cos2x = 0\], nên các giá trị đó của \[x\] đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
LG d
\[\sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[1 - \sin 2x \]
\[= {\cos ^2}x + {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x \]
\[= {\left[ {\cos x - \sin x} \right]^2}\]
ĐKXĐ : \[\sin2x 1\].
Với điều kiện đó, ta có:
\[\eqalign{& \sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {{{\left[ {\cos x - \sin x} \right]}^2}}} \cr &\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\left[ {\cos x - \sin x} \right]\left[ {\cos x + \sin x} \right]}}{{{{\left[ {\cos x - \sin x} \right]}^2}}} \cr&\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}}\cr&\Leftrightarrow \left[ {\sin x + \cos x} \right]\left[ {1 - {1 \over {\cos x - \sin x}}} \right] = 0 \cr & +]\,\,\sin x + \cos x = 0\cr&\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \cr&\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \cr & +]\,\,{1 \over {\cos x - \sin x}} = 1 \cr&\Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1 \cr &\Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] = 1\cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]