- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\,\,\left[ {n \in N} \right]\]
Tìm
LG a
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left[ x \right]\]
Phương pháp giải:
Ta có
\[f'\left[ x \right] = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\]
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \[{u_1} = 1\] và công bội \[q = x \ne 1\] ta được:
\[f'\left[ x \right] = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right] = n + 1\]
LG b
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left[ x \right]\]
Phương pháp giải:
Ta có
\[f'\left[ x \right] = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\]
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \[{u_1} = 1\] và công bội \[q = x \ne 1\] ta được:
\[f'\left[ x \right] = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1\]
LG c
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left[ {{1 \over 2}} \right]\]
Phương pháp giải:
Ta có
\[f'\left[ x \right] = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\]
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \[{u_1} = 1\] và công bội \[q = x \ne 1\] ta được:
\[f'\left[ x \right] = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left[ {{1 \over 2}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left[ {{1 \over 2}} \right]}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2\][vì\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left[ {{1 \over 2}} \right]^{n + 1}} = 0\]]
LG d
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left[ 3 \right]\]
Phương pháp giải:
Ta có
\[f'\left[ x \right] = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\]
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \[{u_1} = 1\] và công bội \[q = x \ne 1\] ta được:
\[f'\left[ x \right] = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left[ 3 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left[ {{3^{n + 1}} - 1} \right] = + \infty \]
[vì \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {{1 \over 3}} \right]^{n + 1}} = 0\] suy ra\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} = + \infty \]]