- Hướng dẫn giải
ĐK:
Ta có
log31-yx+3xy=3xy+x+3y-4
Xét hàm số f[x]=log3t+3tt>0
có f'[t]=1tln3+3>0;∀t>0 nên hàm số đồng biến trên 0;+∞
Kết hợp [*] suy ra
Xét P=x+y⇒x=P-y thay vào [**] ta được
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của g[y]=3y2-2y+33y+1 trên [0;1]
Ta có
Giải phương trình
Lại có g'[y]0
có f'[t]=1tln3+3>0;∀t>0 nên hàm số đồng biến trên 0;+∞
Kết hợp [*] suy ra
Xét P=x+y⇒x=P-y thay vào [**] ta được
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của g[y]=3y2-2y+33y+1 trên [0;1]
Ta có
Giải phương trình
Lại có g'[y] 0 \hfill \cr x + 2y \ne 0 \hfill \cr x,y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 - xy > 0 \Rightarrow xy < 1 \Rightarrow x < {1 \over y}\]
\[\eqalign{ & {\log _3}{{1 - xy} \over {x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - xy} \right] - {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] = 3xy + x + 2y - 4 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - xy} \right] - 3xy + 4 = {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] + x + 2y \cr & \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}\left[ {1 - xy} \right] + 1} \right] + \left[ {3 - 3xy} \right] = {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] + x + 2y \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3 - 3xy} \right] + \left[ {3 - 3xy} \right] = {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] + x + 2y\,\,\left[ * \right] \cr} \].
Xét hàm số đặc trưng \[f\left[ t \right] = {\log _3}t + t\,\,\left[ {t > 0} \right] \Rightarrow f'\left[ t \right] = {1 \over {t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \] hàm số y = f[t] luôn đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Mà từ [*] ta có: \[f\left[ {3 - 3xy} \right] = f\left[ {x + 2y} \right],\] do đó \[3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x\left[ {1 + 3y} \right] = 3 - 2y \Leftrightarrow x = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}}\] [vì y > 0].
Ta có: \[x < {1 \over y} \Rightarrow {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} < {1 \over y} \Rightarrow {{3y - 2{y^2} - 1 - 3y} \over {\left[ {1 + 3y} \right]y}} < 0 \Leftrightarrow - 2{y^2} - 1 < 0\] [luôn đúng].
Khi đó \[P = x + y = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} + y = {{3 - 2y + y + 3{y^2}} \over {1 + 3y}} = {{3{y^2} - y + 3} \over {1 + 3y}} = f\left[ y \right]\].
Ta có: \[f'\left[ y \right] = {{\left[ {6y - 1} \right]\left[ {1 + 3y} \right] - 3\left[ {3{y^2} - y + 3} \right]} \over {{{\left[ {1 + 3y} \right]}^2}}} = {{9{y^2} + 6y - 10} \over {{{\left[ {1 + 3y} \right]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {y_1} = {{ - 1 + \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr {y_2} = {{ - 1 - \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr} \right.\]
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \[y = {y_1}\], khi đó \[{P_{\min }} = f\left[ {{y_1}} \right] = {{2\sqrt {11} - 3} \over 3}.\]
Chọn D.
Giải chi tiết:
ĐK: \[\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} > 0 \Rightarrow y < 1\]\[\left[ {x;y > 0} \right]\]
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - y} \right] - {\log _3}\left[ {x + 3xy} \right] = x + 3xy + 3\left[ {y - 1} \right] - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - y} \right] + 3\left[ {1 - y} \right] = {\log _3}\left[ {x + 3xy} \right] + \left[ {x + 3xy} \right] - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - y} \right] + 3\left[ {1 - y} \right] = {\log _3}\dfrac{{\left[ {x + 3xy} \right]}}{3} + \left[ {x + 3xy} \right]\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = {\log _3}t + 3t\,\,\left[ {t > 0} \right]\] có \[f'\left[ t \right] = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0;\,\forall t > 0\] nên hàm số đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Kết hợp [*] suy ra \[f\left[ {1 - y} \right] = f\left[ {\dfrac{{x + 3xy}}{3}} \right] \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y\]
\[ \Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0\,\,\,\left[ {**} \right]\]
Xét \[P = x + y \Rightarrow x = P - y\] thay vào [**] ta được
\[P - y + 3\left[ {P - y} \right]y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P\left[ {3y + 1} \right] = 3{y^2} - 2y + 3\]
\[ \Leftrightarrow P = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\] [vì \[0 < y < 1 \Rightarrow 3y + 1 > 0\]]
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \[g\left[ y \right] = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\] trên \[\left[ {0;1} \right]\]
Ta có \[g'\left[ y \right] = \dfrac{{\left[ {6y - 2} \right]\left[ {3y + 1} \right] - 3\left[ {3{y^2} - 2y + 3} \right]}}{{{{\left[ {3y + 1} \right]}^2}}} = \dfrac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left[ {3y + 1} \right]}^2}}}\]
Giải phương trình \[g'\left[ y \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left[ {0;1} \right]\\y = \dfrac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\]
Lại có \[g'\left[ y \right] < 0\,\,\,\,\forall y \in \left[ {0;\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right]\] và \[g'\left[ y \right] > 0\,\,\,\,\forall y \in \left[ {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right]\]
Hay \[g'\left[ y \right]\] đổi dấu từ âm sang dương tại \[y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}\] nên
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left[ y \right] = g\left[ {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right] = \dfrac{{4\sqrt 3 - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\]
Chọn A.