- Bài 1.4
- Bài 1.5
- Bài 1.6
Bài 1.4
Cho tam giác\[ABC\]với\[AB \leqslant AC.\] Trên cạnh\[BC\]lấy một điểm\[M\]bất kỳ khác\[B\]và\[C.\]Chứng minh rằng\[AM < AC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Trong một tam giác, góc ngoài tại một đỉnh lớn hơn góc trong tại đỉnh không kề với đỉnh đó.
+] Trong tam giác tù, đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
+] Trong một tam giác, đối diện vớigóc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác \[ABC\] có \[AB \le AC\] [gt] nên\[\widehat {C} \le \widehat B\] [*] [đối diện với cạnh nhỏ hơn là góc nhỏ hơn]
Xét tam giác \[AMB\] có\[\widehat {{M_1}} \] là góc ngoài tại đỉnh \[M\] nên\[\widehat {{M_1}} >\widehat B\] [**] [góc ngoài tại một đỉnh lớn hơn góc trong tại đỉnh không kề với đỉnh đó]
Từ [*] và [**] suy ra:\[\widehat {{M_1}} >\widehat C\]
Xét tam giác \[AMC\] có\[\widehat {{M_1}} >\widehat C\] nên \[AC>AM\] [cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn]
Cách khác:
Ta có \[\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ \]nên chỉ có hai khả năng xảy ra ứng với các vị trí của\[M\]trên\[BC\]là \[\widehat {{M_1}} > 90^\circ \]hoặc\[\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \].
- Nếu \[\widehat {{M_1}} > 90^\circ \]thì tam giác\[AMC\]có góc \[\widehat {AMC}\]tù nên\[AM < AC\]
- Nếu \[\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \]thì trong tam giác \[ABM\]có \[AM < AB.\]Kết hợp với giả thiết \[AB \leqslant AC,\]ta suy ra\[AM < AC.\]
Vậy ta luôn có\[AM < AC.\]
Bài 1.5
Cho tam giác \[ABC\] với \[AB BC CA.\] Trên các cạnh \[BC\] và \[AC\] lần lượt lấy hai điểm \[M\] và \[N\] [khác \[A, B, C\]]. Chứng minh rằng \[MN < AC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả bài 1.4
Lời giải chi tiết:
Kẻ đoạn thẳng \[AM.\]
Xét tam giác \[MAC.\]
Sử dụng kết quả bài 1.4 ta có \[MN < a,\] trong đó \[a\] là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng \[MA\] và \[MC.\]
Trong tam giác \[ABC\] có \[AB AC, M BC\] \[[M \ne B, M \ne C];\]
Sử dụng kết quả bài 1.4, ta có \[AM < AC.\]
Mặt khác \[MC < BC CA.\]
Suy ra: \[MA\widehat {ECD}\]
Suy ra \[CD > DE \][1][đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn]
Xét tam giác \[BCD.\]
Ta có \[\widehat {{D_1}} > \widehat A\][vì \[\widehat {D_1} \] góc ngoài tại đỉnh \[D\] của tam giác \[ADC]\],mà \[Â \] là góc tùnên \[\widehat {{D_1}}\]là góc tù.
Xét tam giác \[BDC\] có\[\widehat {{D_1}}\]là góc tù nên\[\widehat {{D_1}}>\widehat {CBD}\]
Suy ra \[BC > CD \][2][đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn]
Từ [1] và [2] suy ra \[BC > DE.\]