- LG a
- LG b
- LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
LG a
\[y = {x^{ - 3}}\]
Phương pháp giải:
Ta tiến hành thực hiện theo 3 bước như sau:
B1: Tập xác định.
Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Sự biến thiên.
- Xét chiều biến thiên của hàm số.
. Tính đạo hàm \[ y\]
. Tìm các điểm tại đó đạo hàm \[y\] bằng \[0\] hoặc không xác định.
. Xét dấu đạo hàm \[y \] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận [nếu có].
- Lập bảng biến thiên [ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên].
B3: Đồ thị.
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Giải chi tiết:
- Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].
- Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
\[y' = - 3{x^{ - 4}} = - {3 \over {{x^4}}}\]
Ta có: \[y' < 0,\forall x \in R\backslash {\rm{\{ }}0\}\]nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0,\mathop {\lim}\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \]
Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
LG b
\[y = {x^{ - {1 \over 2}}}\]
Phương pháp giải:
Ta tiến hành thực hiện theo 3 bước như sau:
B1: Tập xác định.
Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Sự biến thiên.
- Xét chiều biến thiên của hàm số.
. Tính đạo hàm \[ y\]
. Tìm các điểm tại đó đạo hàm \[y\] bằng \[0\] hoặc không xác định.
. Xét dấu đạo hàm \[y \] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận [nếu có].
- Lập bảng biến thiên [ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên].
B3: Đồ thị.
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Giải chi tiết:
Tập xác định: \[D = [0; + \infty ]\]; \[y' = - {1 \over 2}{x^{ - {3 \over 2}}}\]
Vì \[y' 0,\forall x \in D\]nên hàm số đòng biến trên \[D\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Đồ thị không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:
Đồ thị: