- Bài 6.5
- Bài 6.6
- Bài 6.7
- Bài 6.8
Bài 6.5
a] Cho phân số \[\displaystyle{a \over b}\] \[[a, b N, b \ne 0].\]
Giả sử \[\displaystyle{a \over b} > 1\]và \[m N, m \ne 0.\] Chứng tỏ rằng :
\[\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}\]
b] Áp dụng kết quả ở câu a] để so sánh \[\displaystyle{{434} \over {561}}\]và \[\displaystyle{{441} \over {568}}.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
Lời giải chi tiết:
a] \[\displaystyle{a \over b} = {{a[b + m]} \over {b[b + m]}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\] [1]
\[\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b[a + m]} \over {b[b + m]}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\] [2]
Vì \[\displaystyle{a \over b} < 1 \Rightarrow a < b\] \[\Rightarrow am {{a + m} \over {b + m}}.\]
b] Áp dụng kết quả ở câu a] để so sánh \[\displaystyle{{237} \over {142}}\]và \[\displaystyle{{237} \over {142}}\]
Phương pháp giải:
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
Lời giải chi tiết:
a] \[\displaystyle{a \over b} = {{a[b + m]} \over {b[b + m]}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\] [1]
\[\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b[a + m]} \over {b[b + m]}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\] [2]
Vì \[\displaystyle{a \over b} > 1 \Rightarrow a > b\]\[\Rightarrow am>bm\] \[\Rightarrowab + am > ab + bm\] [3]
Từ [1], [2] và [3] ta có: \[\displaystyle{{ab + am} \over {{b^2} + bm}}>{{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\] hay \[\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\]
b] \[\displaystyle{{237} \over {142}} > 1\]nên \[\displaystyle{{237} \over {142}} > {{237 + 9} \over {142 + 9}} = {{246} \over {151}}.\]
Bài 6.7
So sánh: \[\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}}\]và \[\displaystyle B = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng kết quả bài tập 6.5 để giải bài toán.
Lời giải chi tiết:
Theo bài 6.5:
Nếu \[\displaystyle{a \over b} < 1\]và \[m N, m \ne 0\] thì \[\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}.\]
Sử dụng kết quả này, ta có:
\[\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} < 1 \]
\[\displaystyle\Rightarrow A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} \]\[\displaystyle< {{{{17}^{18}} + 1 + 16} \over {{{17}^{19}} + 1 + 16}} = {{{{17}^{18}} + 17} \over {{{17}^{19}} + 17}}\]\[=\displaystyle{{17.[{{17}^{17}} + 1]} \over {17.[{{17}^{18}} + 1]}} = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}} = B;\]
Vậy \[A < B.\]
Bài 6.8
So sánh: \[\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}}\]và \[\displaystyle D = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng kết quả bài tập 6.6 để giải bài toán.
Lời giải chi tiết:
Theo bài 6.6:
Nếu \[\displaystyle{a \over b} > 1\]và \[m N, m \ne 0\] thì \[\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\]
Sử dụng kết quả này, ta có:
\[\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} > 1 \]
\[\displaystyle\Rightarrow C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} \]\[\displaystyle> {{{{98}^{99}} + 1 + 97} \over {{{98}^{89}} + 1 + 97}} = {{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}};\]
Mà \[\displaystyle{{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}}\]\[\displaystyle ={{98.[{{98}^{98}} + 1]} \over {98.[{{98}^{88}} + 1]}} = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}} = D;\]
Vậy \[C>D.\]