Bài viết dưới đây hướng dẫn cách tính độ lệch chuẩn trong việc đo lường sự biến thiên.
Độ lệch chuẩn cho ta biết về sự biến thiên, từng giá trị quan sát có mối liên hệ tập trung như thế nào xung quanh giá trị trung bình.
- Nếu độ lệch chuẩn bằng 0 => phương sai bằng 0 => các giá trị quan sát cũng chính là giá trị trung bình hay nói cách khác không có sự biến thiên nào cả.
- Nếu độ lệch chuẩn càng lớn => sự biến thiên xung quang giá trị trung bình càng lớn.
Cách tính độ lệch chuẩn – Standard deviation [SD]
Công thức tính: \[SD = \left| {\sqrt {V{\rm{ar}}iance} } \right|\]
Hay \[SD = \sqrt {\frac{{\sum\nolimits_i^n {[{X_i} - \overline X } {]^2}}}{{n - 1}}} \]
Để tính độ lệch chuẩn bạn cần xác định giá trị sau:
- Giá trị trung bình
- Phương sai của bộ số liệu
Bước 1: Tính giá trị trung bình của bộ số liệu
Giá trị trung bình bằng trung bình cộng các giá trị của tất cả bộ số liệu hay chính bằng tổng các giá trị trong bộ số liệu chia cho tổng số các giá trị có trong bộ số liệu.
Bước 2: Tính phương sai của bộ số liệu
Phương sai là giá trị đặc trưng cho độ phân tán [biến thiên] của các số liệu trong bộ số liệu so với giá trị trung bình của bộ số liệu.
Công thức tính phương sai:
\[{S^2} = {\frac{{\sum\nolimits_i^n {[{X_i} - \overline X ]} }}{{n - 1}}^2}\]
Trong đó:
- \[{\overline X }\] là giá trị trung bình của bộ số liệu
- \[{{X_i}}\] là các giá trị của bộ số liệu
- n: số phần tử của bộ số liệu
Ví dụ: Cho 2 nhóm có bảng số liệu như sau. Tính độ lệch chuẩn của 2 nhóm:
Nhóm 1 | Nhóm 2 |
160 | 142 |
160 | 150 |
167 | 187 |
156 | 180 |
161 | 145 |
\[{\overline X }\] = 160.8 | \[{\overline X }\] = 160.8 |
Nhìn vào bảng số liệu dựa vào giá trị trung bình ta không thể đưa ra được sự phân tán bộ dữ liệu của 2 nhóm. Để xác định độ phân tán dữ liệu cần xác định độ lệch chuẩn.
Tính phương sai nhóm 1:
Nhóm 1 | ||
x | \[{[{X_i} - \overline X ]}\] | \[{{{[{X_i} - \overline X ]}^2}}\] |
160 | -0.8 | 0.64 |
160 | -0.8 | 0.64 |
167 | 6.2 | 38.44 |
156 | -4.8 | 23.04 |
161 | 0.2 | 0.04 |
\[{\overline X }\] = 160.8 |
Phương sai của nhóm 1:
\[{S^2} = \frac{{\sum\nolimits_i^n {{{[{X_i} - \overline X ]}^2}} }}{{n - 1}} = \frac{{\sum\nolimits_i^5 {{{[{X_i} - 60.8]}^2}} }}{{5 - 1}} = 15.7\]
Tính phương sai nhóm 2:
Nhóm 2 | ||
x | \[{[{X_i} - \overline X ]}\] | \[{{{[{X_i} - \overline X ]}^2}}\] |
142 | 18.8 | 353.44 |
150 | 10.8 | 116.64 |
187 | -26.2 | 686.44 |
180 | -19.2 | 368.64 |
145 | 15.8 | 249.64 |
\[{\overline X }\] = 160.8 |
Phương sai của nhóm 2:
\[{S^2} = \frac{{\sum\nolimits_i^n {{{[{X_i} - \overline X ]}^2}} }}{{n - 1}} = \frac{{\sum\nolimits_i^5 {{{[{X_i} - 60.8]}^2}} }}{{5 - 1}} = 443.7\]
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của 2 nhóm
Độ lệch chuẩn của nhóm 1:
\[SD = \sqrt {\frac{{\sum\nolimits_i^n {{{[{X_i} - \overline X ]}^2}} }}{{n - 1}}} = \sqrt {15.7} = 3.96\]
Độ lệch chuẩn của nhóm 2:
\[SD = \sqrt {\frac{{\sum\nolimits_i^n {{{[{X_i} - \overline X ]}^2}} }}{{n - 1}}} = \sqrt {443.7} = 21.06\]
Như vậy độ lệch chuẩn của nhóm 1 là 3.96, độ lệch chuẩn của nhóm 2 là 21.06. Như vậy những người ở nhóm 2 có sự khác biệt nhiều hơn ở nhóm 1. Những người trong nhóm 2 nằm cách xa hơn giá trị trung bình của những người trong nhóm 1.
Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách tính độ lệch chuẩn trong việc đo lường sự biến thiên. Chúc các bạn thành công!
Trong đó:
xi là giá trị của quan sát thứ i
µ là giá trị trung bình của tập dữ liệu
n là số quan sát trong tập dữ liệu
Ví dụ: Trong phòng của một thủy cung, có chính xác sáu bể cá. Sáu bể này chứa số cá lần lượt như sau:
Ta tính từng giá trị để áp vào công thức tính phương sai:
Giá trị trung bình = μ =
Lấy từng điểm dữ liệu trừ đi giá trị trung bình:
Bình phương từng hiệu:
[}
[-5,5] = 30,25
[-5,5] = 30,25
[-2,5] = 6,25
[1,5] = 2,25
[4,5] = 20,25
[7,5] = 56,25
Phương sai tổng thể =
2. Cách tính phương sai của một mẫu [tập con]
Không phải lúc nào chúng ta cũng có, hoặc cần toàn bộ số liệu; có thể ta sẽ chỉ có 1 phần của số liệu đó. Ví dụ, Khi phân tích số bánh bán được mỗi ngày ở một cửa hàng, bạn lấy mẫu sáu ngày ngẫu nhiên và có các kết quả như sau: 38, 37, 36, 28, 18, 14, 12, 11, 10,7, 9,9. Đây là một mẫu, không phải tổng thể, bởi bạn không có dữ liệu cho tất cả các ngày cửa hàng mở cửa.
Trong đó:
đại diện cho một giá trị trong bộ dữ liệu của bạn.
∑, nghĩa là “tổng”, cho bạn biết cần tính những thông số theo sau cho từng giá trị , rồi cộng chúng với nhau.
x̅ là giá trị trung bình của mẫu. Để tính giá trị trung bình của mẫu, ta lấy tổng tất cả các mẫu rồi chia cho tổng số mẫu.
n là số điểm dữ liệu.
Trước đây, khi tính phương sai mẫu, các nhà thống kê chỉ chia cho n, từ đó tìm được giá trị trung bình của độ lệch bình phương, trùng khớp hoàn toàn với phương sai của mẫu đó. Tuy nhiên, mẫu chỉ là ước lượng của một tổng thể lớn hơn. Nếu lấy một mẫu ngẫu nhiên khác và thực hiện tính toán tương tự, bạn sẽ có kết quả khác.
Và vì vậy, chia cho n -1 thay vì n lại cho bạn ước tính tốt hơn về phương sai của tổng thể lớn hơn – điều mà bạn thật sự quan tâm. Giờ đây, phép hiệu chỉnh này đã là định nghĩa được chấp nhận của phương sai mẫu.
Xem thêm: Cách Tính Bình Phương Phân Số
Kiến thức về thống kê nói chung và phương sai nói riêng là không hề dễ. Tuy nhiên, tính ứng dụng của phương sai trên thực tế lại rất cao, và bạn có thể gặp lại kiến thức này trên giảng đường đại học. Vì vậy, hãy cố gắng nắm bắt phương sai càng sớm càng tốt.