Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 5

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z−i=5 và z2 là số thuần ảo?

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải Đặt z=x+iy , x,y∈ℝ . z−i=5 ⇔x+iy−i=5 ⇔x2+y−12=5 ⇔x2+y−12=25 . z2=x+iy2=x2−y2+2xy i là số thuần ảo ⇔x2−y2=0 ⇔x=±y . + Hệ phương trình x2+y−12=25x=y có các nghiệm x=4y=4 , x=−3y=−3 . + Hệ phương trình x2+y−12=25x=−y có các nghiệm x=−4y=4 , x=3y=−3 . Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện trên. ⇒ Chọn đáp án C

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

Đặt z= x+ yi x,y\( \in \mathbb{Z}\)

Theo yêu cầu bài toán ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi} \right| = 5\\x = 2y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\\x = 2y{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4{y^2} + {y^2}} = 5 \Leftrightarrow 5{y^2} = 25\\ \Leftrightarrow {y^2} = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt 5 \Rightarrow x = 2\sqrt 5 \\y = - \sqrt 5 \Rightarrow x = - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + i\sqrt 5 } \right| + \left| {z - i\sqrt 5 } \right| = 6\) và môđun của số phức \(z\) bằng \(\sqrt 5 \)?

1. \(0\).

2. \(4\).

3. \(3\).

4. \(2\).

Đáp án B

Chọn B Đặt \(z=\,a+bi\,\left( a,b\,\in \mathbb{R} \right)\). Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5\). Suy ra \(\left| {z + i\sqrt 5 } \right| + \left| {z - i\sqrt 5 } \right| = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 6\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2\sqrt 5 b + 5} + \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2\sqrt 5 b + 5} = 6\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {10 + 2\sqrt 5 b} + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 b} = 6\\ \Leftrightarrow 20 + 2\sqrt {100 - 20{b^2}} = 36\\ \Leftrightarrow \sqrt {100 - 20{b^2}} = 8\\ \Leftrightarrow 100 - 20{b^2} = 64\\ \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{9}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}\\ b = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt 5 }} \end{array} \right. \end{array}\) Với \({b^2} = \dfrac{9}{5} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{16}}{5} \Rightarrow a = \pm \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy có 4 số phức \(z\).

\(\begin{array}{l} {\Leftrightarrow \left|a+(b-1)i\right|=5} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} +(b-1)^{{2} } =5} \\ {\Leftrightarrow a}{2} +(b-1)^{{2} =25} \\ {\Leftrightarrow a}{2} +b^{2} -2b+1=25{\rm \; }\left(1\right)} \end{array}\)

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z?\)

Đáp án đúng: B

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z\)

\(\Leftrightarrow \left| z \right|.z-5\left| z \right|-\left| z \right|i+2i=\left( 6-i \right)z\Leftrightarrow z\left( \left| z-6+i \right| \right)=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i\ \ \ \left( * \right)\)

Lấy modul 2 vế của phương trình \(\left( * \right)\) ta được: \(\left| z \right|\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{{2}}+1}=\sqrt{25\left| {{z}}{2}} \right|+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}\ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Đặt \(x=\left| z \right|\ \ \left( x\ge 0 \right).\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2} + 1} = \sqrt {25{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 12x + 36 + 1} \right) = 25{x^2} + {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 36{x^2} + {x^2} = 26{x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 11{x^2} + 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 11{x^2} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0\\ {x^3} - 11{x^2} + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\ x \approx 10,97\;\;\;\left( {tm} \right)\\ x \approx 0,62\;\;\;\left( {tm} \right)\\ x \approx - 0,59\;\;\;\left( {ktm} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 1\;\\ \left| z \right| \approx 10,97\;\\ \left| z \right| \approx 0,62\; \end{array} \right.. \end{array}\)

Thay các \(\left| z \right|\) vào phương trình đã cho ta sẽ nhận được 3 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.