Đề bài
Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang \[ABCD\] \[\left[ {AB//C{\rm{D}}} \right]\]có \[AC = BD.\]
Qua \[B\] kẻ đường thẳng song song với \[AC\], cắt đường thẳng \[DC\] tại \[E.\] Chứng mình rằng:
a] \[BDE\] là tam giác cân.
b] \[ACD = BDC.\]
c] Hình thang \[ABCD\] là hình thang cân.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
- Nhận xét: Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] \[E\] thuộc đường thẳng \[DC\] nên \[CE // AB.\]
Hình thang \[ABEC\; [AB // CE]\] có hai cạnh bên \[AC, BE\] song song [giả thiết] \[\Rightarrow AC = BE\] [1] [nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau ]
Lại có: \[AC = BD\][giả thiết] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BE = BD\] \[\Rightarrow \Delta BED\]cân tại \[B\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân].
b] Ta có\[AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E\][2 góc đồng vị][3]
\[BDE\] cân tại \[B\] [chứng minh trên] \[ \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E\][4]
Từ [3] và [4]\[ \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\]
Xét \[ACD\] và \[ BDC\] có:
+] \[AC = BD\] [giả thiết]
+] \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\] [chứng minh trên]
+] \[CD\] chung
Suy ra \[ACD = BDC\] [c.g.c]
c] Ta có: \[ACD = BDC\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\] [\[2\] góc tương ứng]
Hình thang \[ABCD\] có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.