Đề bài
Trên đường tròn [O] lấy các điểm A và A sao cho sđ cung AA = 1200. Điểm B trên cung nhỏ , điểm C trên cung lớn AA sao cho sđ cung AC= 2 sđ cung AB
a] Chứng minh \[\widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\] .
b] \[\widehat {A'BC} = 2\widehat {A'CB}\]
c] Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ AA và I là một điểm trên cung nhỏ BA. J là giao điểm của BI và AA. Chứng minh \[\widehat {BJA'} = \widehat {IA'B}\] .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
+] Số đo góc có đỉnh ở ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn [cung lớn trừ cung nhỏ].
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[sdcung\,AC < {180^0}\] \[ \Rightarrow sdcung\,AB < {90^0}\].
Ta có: \[\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB;\,\,\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AC\] [số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn].
Mà \[sd\,cung\,AC = 2sdcung\,AB\] \[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}.2sd\,cung\,AB = sd\,cung\,AB\]
\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\].
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}sdcung\,A'B = sdAA' - sdcung\,AB = {120^0} - sdcung\,AB;\,\,\\
sdcung\,A'C = sdcung{\rm{ACA}}' - sdcung\,AC \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {360^0} - {120^0} - sdcung\,AC\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {240^0} - sdcung\,AC \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {240^0} - 2sdcung\,AB \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 2\left[ {{{120}^0} - sdcung\,AB} \right] \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 2sdcung\,A'B\end{array}\]
Lại có
\[\begin{array}{l}\widehat {A'BC} = \dfrac{1}{2}sdcung\,A'C = \dfrac{1}{2}.2sdcung\,A'B = sdcung\,A'B;\,\,\\\widehat {A'CB} = \dfrac{1}{2}sdcung\,A'B\end{array}\]
[số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn].
Vậy \[\widehat {A'BC} = 2\widehat {A'CB}\].
c]
Vì B là điểm chính giữa cung nhỏ AA suy ra sđ cung AB= sđ cung A'B.
Vì \[\widehat {BJA'}\] là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên
\[\widehat {BJA'} = \dfrac{{sdcung\,AB - sdcung\,A'I}}{2}\]\[\, = \dfrac{{sdcung\,A'B - sdcung\,A'I}}{2}\]\[\, = \dfrac{{sdcung\,IB}}{2}\]
Vì \[\widehat {IA'B}\] là góc nội tiếp chắn cung IB nên .
Vậy \[\widehat {BJA'} = \widehat {IA'B}\].