Đề bài
Chứng minh rằng phương trình \[3{x^5} + 15x-8 = 0\] chỉ có một nghiệm thực.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.
- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hàm số \[f[x] = 3{x^5} + 15x - 8\] là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\].
Có \[y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\] nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Mà \[f[0] = - 8 < 0,f[1] = 10 > 0\]\[ \Rightarrow f\left[ 0 \right].f\left[ 1 \right] < 0\] nên tồn tại ít nhất một số \[{x_0} \in [0;1]\] sao cho \[f\left[ {{x_0}} \right] = 0\], tức là phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có nghiệm.
Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất [đpcm].
Cách khác:
Hàm số \[f[x] = 3{x^5} + 15x - 8\] là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\].
Có \[y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\] nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên\[\mathbb{R}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {3{x^5} + 15x - 8} \right]\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^5}\left[ {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right]} \right] = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {3{x^5} + 15x - 8} \right]\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^5}\left[ {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right]} \right] = + \infty
\end{array}\]
Bảng biến thiên:
Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f[x] tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.