Từ \[a + b + c + d \ge 4\sqrt[4]{{abcd}}\] và \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{abcd}}}}\]
Đề bài
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng
\[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + d}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân:
\[x + y + z + t \ge 4\sqrt[4]{{xyzt}}\] với \[x,y,z,t>0\]
Lời giải chi tiết
Từ \[a + b + c + d \ge 4\sqrt[4]{{abcd}}\] và \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{abcd}}}}\]
Suy ra \[[a + b + c + d][\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}] \ge 16\]
Hay \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + d}}\]