Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O \] bán kính \[R\] và dây \[AB\] bất kỳ. Gọi \[M\] là điểm chính giữa của cung nhỏ \[AB.\] \[E\] và \[F\] là hai điểm bất kỳ trên dây \[AB.\] Gọi \[C\] và \[D\] tương ứng là giao điểm của \[ME,\] \[MF\] của đường tròn \[[O].\] Chứng minh \[\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = {180^o}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\]
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+] Tổng các góc trong một tứ giác bằng \[360^o.\]
Lời giải chi tiết
Ta có \[M\] là điểm chính giữa cung nhỏ \[\overparen{AB}\]
\[ \Rightarrow sđ \overparen{MA} = sđ \overparen{MB}\] \[[1]\]
Lại có: \[\widehat D = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{MAC}\] [tính chất góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat D = \displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{MA} + sđ \overparen{AC}\]] \[[2]\]
Và \[\widehat{AEC} =\displaystyle {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{MB}\] + sđ \[\overparen{AC}\]] [tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn] \[ [3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[\widehat D = \widehat {AEC}\]
\[\widehat {AEC} + \widehat {CEF} = 180^\circ \] [kề bù]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat D + \widehat {CEF} = 180^o \]\[ [4]\]
Trong tứ giác \[CEFD\] ta có:
\[\widehat {CEF} + \widehat D + \widehat {ECD} + \widehat {EFD} = 360^o\][tổng các góc trong tứ giác] \[ [5]\]
Từ \[[4]\] và \[[5]\] suy ra: \[\widehat {ECD} + \widehat {EFD} = 180^o \]