Đề bài
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho \[8\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất chia hết của \[1\] tổng cho \[1\] số.
Lời giải chi tiết
Gọi hai số lẻ bất kì là \[2a + 1\] và \[2b + 1\] [\[a, b \mathbb Z\]]
Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :
\[{\left[ {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}-{\rm{ }}{\left[ {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2} \]
\[= \left[ {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right]\]
\[ = \left[ {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right]{\rm{ }} \]
\[= {\rm{ }}4a\left[ {a{\rm{ }} + 1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left[ {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]\]
Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho \[2\] nên \[a[a+1]\] và \[b[b+1]\] đều chia hết cho \[2\].
Do đó \[4a[a + 1]\] và \[4b[b + 1]\] chia hết cho \[8\].
Suy ra \[4a[a + 1] 4b[b + 1]\] chia hết cho \[8\].
Vậy \[{\left[ {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}-{\rm{ }}{\left[ {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}\]chia hết cho \[8\].