Đề bài
Hệ phương trình dạng
có thể có nghiệm trong trường hợp nào?
Áp dụng: Tìm a để hệ có phương trình
\[\left\{ \matrix{
ax + y = {a^2} \hfill \cr
x + ay = 1 \hfill \cr} \right.\] có nghiệm?
Lời giải chi tiết
Hệ đã cho có nghiệm khi có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm.
+ Hệ có nghiệm duy nhất khi D 0
+ Hệ vô số nghiệm khi D = Dx= Dy= 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm khiD 0 hoặcD = Dx= Dy= 0.
Áp dụng:
Ta có:
+ Nếu \[a ± 1\] hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu \[a = 1\] thì hệ có vô số nghiệm
+ Nếu \[a = -1\] thì hệ vô nghiệm [Do Dx= -2 0]
Vậy hệ có nghiệm \[ a -1\].
Cách trình bày khác:
Hệ có nghiệm duy nhất khi \[D \ne 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \pm 1\]
Hệ vô số nghiệm khi
\[\begin{array}{l}D = {D_x} = {D_y} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 = 0\\{a^3} - 1 = 0\\a - {a^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {a - 1} \right]\left[ {a + 1} \right] = 0\\\left[ {a - 1} \right]\left[ {{a^2} + a + 1} \right] = 0\\a\left[ {1 - a} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right.\\a = 1\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\end{array}\]
Do đó với \[\left[ \begin{array}{l}a \ne \pm 1\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ne - 1\] thì hệ có nghiệm.