Đề bài
Cho hypebol \[[H]: \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên \[[H]\] đến hai đường tiệm cận bằng \[ \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\].
Lời giải chi tiết
\[[H]\] có hai tiệm cận là \[{\Delta _1}: y = \dfrac{b}{a}x\] hay \[bx - ay = 0\]; \[{\Delta _2}: y = - \dfrac{b}{a}x\] hay \[bx + ay = 0\].
Xét \[M[x ; y] \in [H]\] thì \[ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\], hay \[{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\]. Khi đó
\[d[M ; {\Delta _1}].d[M ; {\Delta _2}] \]
\[= \dfrac{{|bx - ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}. \dfrac{{|bx + ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
\[= \dfrac{{|{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}} \]
\[= \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\].