Bài 1.39 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} = {k^2}\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} \]
Giải:
Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có \[B'C' = kBC\], từ đó suy ra \[B'C{'^2} = {k^2}B{C^2}\]. Hay $${\left[ {\overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'B'} } \right]^2} = {k^2}{\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right]^2}\]. Suy ra
\[A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\]
\[= {k^2}\left[ {A{C^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A{B^2}} \right]\].
Để ý rằng \[A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2}\]ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài 1.40 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Gọi A, B và Ctương ứng là ảnh của ba điểmA, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng\[\overrightarrow {AB} = p\overrightarrow {AC} \]nếu $$\overrightarrow {A'B'} = p\overrightarrow {A'C'} \]thì , trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm Avà Cthì điểm B' nằm giữa hai điểm Avà C.
Giải:
Để ý rằng
\[\eqalign{
& A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} \cr
& = {k^2}A{B^2},\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} \cr
& = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \]
Ta có:
\[{\left[ {\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} } \right]^2} = A'B{'^2} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} + {p^2}A'C{'^2}\]
\[\eqalign{
& = {k^2}\left[ {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} \right] \cr
& = {k^2}{\left[ {\overrightarrow {AB} - p\overleftarrow {AC} } \right]^2} = 0 \cr} \]
Từ đó suy ra \[\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow 0 \]
Giả sử ba điểm \[A,B,C\]thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó \[\overrightarrow {AB} = t\overrightarrow {AC} \], với \[0 < t < 1\]. Áp dụng bài 1.39 ta cũng có \[\overrightarrow {A'B} = t\overrightarrow {A'C'} \], với \[0 < t < 1\]. Do đó ba điểm \[A',B',C'\]thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Bài 1.41 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxyxét phép biến hình Fbiến mỗi điểm\[M\left[ {x;y} \right]\] thành\[M'\left[ {2{\rm{x}} - 1; - 2y + 3} \right]\]. Chứng minh F là một phép đồng dạng.
Giải:
Lấy điểm \[N\left[ {{x_1};{y_1}} \right]\], thì điểm \[N'\left[ {2{x_1} - 1; - 2{y_1} + 3} \right] = F\left[ N \right]\]. Ta có
\[\eqalign{
& M'N{'^2} = {\left[ {2{{\rm{x}}_1} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + {\left[ { - 2{y_1} + 2y} \right]^2} \cr
& = 4\left[ {{{\left[ {{x_1} - x} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - y} \right]}^2}} \right] = 4M{N^2} \cr} \]
Từ đó suy ra với hai điểm M, N tùy ý và M', N' lần lượt là ảnh của chúng qua F ta có \[M'N' = 2MN\].Vậy Flà phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 2.
Bài 1.42 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Dựng tam giác BAC vuông cân tại A có Clà một điểm cho trước, còn hai đỉnh A, Blần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.
Giải:
Xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phéo quay tâm C góc \[\pm {45^0}\]và phép vị tự tâm C tỉ số \[k = \sqrt 2 \]. Vì Athuộc anên Bthuộc đường thẳng alà ảnh của aqua phép đồng dạng nói trên. Vậy blà giao của avà b. Từ đó suy ra cách dựng . Bài toán có hai nghiệm hình.